Propiedades de reflexión de las curvas cónicas

La elipse.

Los rayos provenientes de uno de los focos de una elipse se reflejan en dirección al otro foco.

Sean F y G los focos de una elipse. El siguiente applet muestra un punto P sobre la elipse y la recta tangente a la elipse en P. El ángulo que forma el "rayo incidente" FP con la recta tangente es igual al que forma el "rayo reflejado" GP del otro lado.

Esta es la llamada propiedad de reflexión de la elipse. El siguiente applet ayuda a entender porqué se cumple la propiedad de reflexión.

Sean F y G los focos de una elipse. Sea P un punto de la elipse y r la recta tangente a la elipse en P. Sea Gr la reflexión de G con respecto a r, es decir, GP y GrP forman el mismo ángulo con la recta r. Se quiere demostrar que FP y GP forman el mismo ángulo con r.

Sea Q un punto arbitrario de r. Entonces

FQ+QG=FQ+QGr>FP+PGr=FP+PG

a menos que Q=P. Esto quiere decir el valor mínimo de la suma FQ+QGr se alcanza cuando Q=P y por lo tanto P está alineado con F y Gr. Entonces los ángulos de FP y PGr con la recta r son iguales, pero como el segundo es igual al que forma GP con r, resulta que FP y GP forman el mismo ánguulo con r, que es lo que queríamos demostrar.

La hipérbola.

Los rayos provenientes de uno de los focos de una hipérbola se reflejan de manera que los rayos reflejados parecen provenir del otro foco.

Sean F y G los focos de una elipse. El siguiente applet muestra un punto P sobre la hipérbola y la recta tangente a la hipérbola en P. El ángulo que forma el "rayo incidente" FP con la recta tangente es igual al que forma el "rayo reflejado", el cual es una prolongación del segmento GP, es decir, el rayo reflejado parece provenir del segundo foco G.

Esta es la llamada propiedad de reflexión de la hipérbola.

El siguiente applet muestra una hipérbola con focos F y G y un punto P de ella. Sea Gr en punto de la recta FP que dista de P lo mismo que G y sea r la recta formada por los puntos equidistantes de G y Gr. Entonces, de las propiedades de los lados del triángulo FQGr, se deduce que para todos los puntos Q de la recta,

FQ-QGr>=FGr=FP-PGr

y la igualdad sólo ocurre cuando Q=P. Esto demuestra que el único punto de la recta r que toca a la hipérbola es P, por lo cual r es la recta tangente a la hipérbola en P. De aquí se deduce que el ángulo FPr es igual al ángulo rPG, que es la propiedad de reflexión de la hiperbola que queríamos demostrar.

La parábola.

Los rayos provenientes del foco de una parábola se reflejan paralelos a su eje de simetría. Inversamente, los rayos provenientes de una fuente lejana y que son paralelos al eje de simetría de una parábola, al reflejarse se concentran en el origen.

Sea F el foco de parábola. El siguiente applet muestra un punto P sobre la parábola y la recta tangente a ella en P. El ángulo que forma el "rayo incidente" FP con la recta tangente es igual al que forma el "rayo reflejado", el cual es paralelo al eje de simetría de la parábola.

Esta es la llamada propiedad de reflexión de la parábola.

El siguiente applet muestra una parábola con foco F y un punto P de ella. Sea d la directriz de la parábola y sea P´ el punto de la directriz cuya distancia a P es mínima. Por las propiedades de la parábola se tiene que FP´=FP. Sea t la recta de los puntos equidstantes de F y P´. Entonces t pasa por P. Para un punto cualquiera Q de t, sea Q´ el punto en d más cercano a Q. Entonces P´Q<=Q´Q y la igualdad ocurre solo cuando Q=P. Esto demuestra que t solo toca a la parábola en el punto P. Por lo tanto t es la recta tangente a la parábola. Pero como el ángulo FPt es igual al ángulo tPP´, resulta que la reflexión de FP respecto a t es perpendicular a la directriz d y por lo tanto es paralelo al eje de simetría de la parábola, que es lo que se quería demostrar.

Autor: José Luis Abru León