La expresión:
 A

B
=  A+B

A
(1.1)
es equivalente a:
A2= A B + B2
de donde:
A2 - A B -B2 = 0
dividiendo por B2 tenemos:
 A2

B2
-  A

B
- 1 = æ
è
 A

B
ö
ø
2

 
-  A

B
-1 = 0  
Lo que queremos obtener es el valor que debe tener A/B así que si llamamos x a A/B tenemos:
x2 - x - 1 = 0
(1.3)
y esto es fácil de resolver. Sabemos que las soluciones reales de una ecuación de la forma a x2 + b x +c = 0 son:
x1
=
-b +
Ö

b2-4ac

2a
(1.4)
x1
=
-b -
Ö

b2-4ac

2a
(1.5)
En nuestro caso las soluciones son:
x1 =
1+
Ö

1- 4 (1) (-1)

2(1)
=  1+Ö5

2
(1.6)
x2 =
1-
Ö

1- 4 (1) (-1)

2(1)
=  1-Ö5

2
(1.7)

Aproximadamente: x1 = 1.618033988749895 y x2=-0.6180339887498949. Como nos interesa encontrar una relación entre A y B, que son longitudes de segmento y por tanto son cantidades positivas, la solución x2 no nos interesa mayormente. x1 sí y de hecho le vamos a cambiar el nombre, de ahora en adelante le llamaremos f, la razón áurea.
f =  1+Ö5

2
» 1.618...
(1.8)
f es la razón A/B que satisface 1.

Al ver los valores aproximados de x1 y x2 a uno se le ocurre que x2 = -(x1-1) = 1-x1, es decir
x1 = 1-x2
(1.9)
Esto es fácil de verificar:
1-x2
=
1- æ
è
 1

2
-  Ö5

2
ö
ø
=
 1

2
+  Ö5

2
=
x1
Además ocurre que:
 1

x1
= - x2
(1.10)
porque:
 1

x1
=
 1

 1+Ö5

2
=
 2

1+Ö5
=
 2

1+Ö5
   Ö5-1

Ö5-1
=
 2 ( Ö5-1 )

( Ö5 +1) (Ö5-1 )
=
 2 ( Ö5-1 )

Ö52 -12
=
 2 ( Ö5-1 )

4
=
 - (1- Ö5 )

2
=
-x2

Combinando 9 y 10 obtenemos
f = x1 = 1-x2 = 1+  1

x1
= 1+  1

f
(1.11)

Otra propiedad interesante es:
f2 = 1+ f
(1.12)
esto ocurre porque:
f2
=
æ
è
 1+Ö5

2
ö
ø
2

 
=
 1

4
+  Ö5

2
+  5

4
=
 6

4
+  Ö5

2
=
 3+Ö5

2
=
1 +  1+Ö5

2
=
1+ f

De hecho esta última propiedad implica que:
fn = fn-1 + fn-2
(1.13)
porque si multiplicamos 12 por f obtenemos: f3 = f+f2, si multiplicamos otra vez por f: f4 = f2 + f3 y así sucesivamente.

De 11 podemos concluir que 13 se cumple también para potencias negativas, si usamos el hecho de que 1 = f0 podemos reescribir 11 como f = f0+f1, dividiendo por f2 obtenemos: f-1 = f-2+f-3 y así podemos continuar dividiendo sucesivamente entre f.