La expresión:
es equivalente a:
de donde:
dividiendo por B2
tenemos:
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A2
B2
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- |
A
B
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- 1 = |
æ
è |
A
B
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ö
ø |
2
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- |
A
B
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-1 = 0 |
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Lo que queremos obtener es
el valor que debe tener A/B
así que si llamamos x
a A/B
tenemos:
y esto es fácil de resolver.
Sabemos que las soluciones reales de una ecuación de la forma a x2
+ b x +c = 0 son:
En nuestro caso las soluciones
son:
Aproximadamente:
x1 = 1.618033988749895 y
x2=-0.6180339887498949.
Como nos interesa encontrar una relación entre A
y B, que son longitudes
de segmento y por tanto son cantidades positivas, la solución x2
no nos interesa mayormente. x1
sí y de hecho le vamos a cambiar el nombre, de ahora en adelante le llamaremos
f, la razón áurea.
f es la razón A/B
que satisface 1.
Al ver los valores aproximados de
x1 y
x2 a uno
se le ocurre que x2 = -(x1-1) = 1-x1, es
decir
Esto es fácil de verificar:
Además ocurre que:
porque:
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2 ( Ö5-1 )
( Ö5 +1) (Ö5-1 )
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Combinando 9
y 10 obtenemos
f = x1 = 1-x2 = 1+ |
1
x1
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= 1+ |
1
f
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(1.11) |
Otra propiedad interesante
es:
esto ocurre porque:
De hecho esta última propiedad
implica que:
porque si multiplicamos 12
por f obtenemos: f3 = f+f2, si multiplicamos
otra vez por f: f4 = f2 + f3 y así sucesivamente.
De 11
podemos concluir que 13 se cumple también para potencias
negativas, si usamos el hecho de que 1 = f0 podemos reescribir
11 como f = f0+f1, dividiendo
por f2 obtenemos:
f-1 = f-2+f-3 y así podemos continuar
dividiendo sucesivamente entre f.