Elipse

Propiedad óptica

Consideremos un espejo que tenga forma de elipse. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará hacia el otro foco.

Demostración

Para demostrar estas propiedades recordemos que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Así que debemos demostrar que a = b.

Podemos colocar la elipse con centro en el origen de manera que sus ejes coincidan con los ejes cartesianos, así que la ecuación de la elipse es

x2
a2
+ y2
b2
= 1
(1)

para encontrar la pendiente de la recta tangente en P derivamos implícitamente y sustituimos ( x0,y0) :
2x
a2
+ 2yy'
b2
=
0
y'
=
- b2
a2
x
y
m
=
- b2
a2
x0
y0

así que la ecuación de la recta tangente a la elipse en P es
y-y0 = - b2x0
a2y0
( x-x0)
Recordemos que la tangente del ángulo formado por una recta l1 con otra l2, en sentido contrario a las manecillas del reloj, en términos de sus respectivas pendientes m1 y m2 es
tana = m2-m1
1 + m2m1
Así que para la recta FP y la recta tangente en P tenemos
tana =
-b2x0
a2y0
- y0-0
x0-c

1 +

-b2x0
a2y0




y0-0
x0-c


= - y02a2 + b2x02-b2x0c
(a2-b2) x0y0-a2cy0

sabiendo que ( x0,y0) pertenece a la elipse 1, tenemos que
y02a2 + b2x02 = a2b2        y        a2-b2 = c2
así que
tana = a2b2-b2x0c
c2x0y0-a2cy0
= - b2
cy0

Si en el mismo cálculo sustituimos c por -c para considerar el otro foco, obtenemos

tan( -b) = b2
-cy0
así que tanb = b2/cy0 con lo que obtenemos que tana = tanb, y en consecuencia a = b.

La propiedad óptica de la elipse se aplica en las "galerías de murmullos" como la que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de México, en la cual un orador colocado en un foco puede ser escuchado cuando murmura por un receptor que se encuentre en el otro foco, aún cuando su voz sea inaudible para otras personas del salón. Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrará en el otro foco.

Astronomía

Una de las principales aplicaciones de la elipse se da en la astronomía. Johannes Kepler, estudiando los movimientos de Marte, al aplicar el modelo de Copérnico de órbitas circulares alrededor del sol, vio que los cálculos discrepaban ligeramente de la posición real del planeta en el firmamento. Así que intentó ajustar la órbita a otras curvas y finalmente encontró que la elipse se ajustaba maravillosamente a ella. Así encontró su primera ley del movimiento de los planetas. En realidad Kepler tuvo una suerte enorme, ya que Marte era el planeta conocido entonces cuya órbita era más excéntrica. Si en lugar de Marte hubiera decidido estudiar a Venus, cuya órbita es prácticamente circular, posiblemente nunca hubiera descubierto sus leyes del movimiento.

Las tres leyes sobre el movimiento planetario de Kepler son:

Kepler encontró sus leyes empíricamente, pero fue Newton, utilizando el Cálculo Diferencial que acababa de inventar, y su modelo de gravitación universal, quien probó dichas leyes.

En la tabla siguiente aparece la excentricidad de las órbitas planetarias, así como la distancia media del planeta al sol medida en unidades astronómicas (U.A.), una unidad astronómica es, por definición, la distancia media de la tierra al sol.

Planeta Excentricidad Distancia media (U.A.)
Mercurio 0.206 0.387
Venus 0.007 0.723
Tierra 0.017 1
Marte 0.093 1.52
Júpiter 0.048 5.2
Saturno 0.056 9.54
Urano 0.047 19.18
Neptuno 0.009 30.06
Plutón 0.25 39.44
Si medimos el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta alrededor del sol en años terrestres, la constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler es 1, es decir, su fórmula es
p2 = a3,
donde p es el período y  a es el radio mayor de la elipse.

Ejemplos

  1. Encontrar la diferencia entre el radio mayor y el radio menor de la órbita de la tierra, sabiendo que el radio mayor es aproximadamente de 149,600,000 Km.

    Solución

    Como la excentricidad de la órbita terrestre es

    e = c
    a
    = 0.017
    y el radio menor es
    b = ( a2-c2) 1/2
    entonces c = 0.017a y
    b = ( a2( 1-0.0172) ) 1/2 = 0.999855 a = 149,578,308 Km
    así que la diferencia entre el radio mayor y el radio menor es
    149,600,000-149,578,308 = 21,692 Km
    que es menos de dos veces el diámetro de la tierra, es decir, es insignificante comparada con el tamaño de la órbita.

  2. Encontrar el período de Urano.

    Solución:

    La distancia media de Urano al sol es a = 19.18 U.A., así que su período, de acuerdo a la tercera ley de Kepler es p = {19.183} = 84 años.

No nada más los planetas satisfacen las leyes de Kepler, sino que también todos los cuerpos que giran alrededor de otros, por ejemplo, los cometas girando alrededor del sol, los satélites girando alrededor de los planetas, y aún el sistema solar girando alrededor del centro de la Vía Lactea. La constante de proporcionalidad de la tercera ley depende básicamente de la masa del cuerpo central.


Referencias

        [1]
E. de Oteyza, E. Lam, J.A. Gómez, A. Ramirez, C. Hernández, "Geometría Analítica", Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1994.

[2]
E. Purcell, D.Varberg, "Cálculo con Geometría Analítica", Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1993.

[3]
M. Sullivan, "Trigonometría y Geometría Analítica", Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.