Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejándose directamente del otro foco.
La demostración es enteramente análoga a la propiedad óptica de la elipse.
Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector:
Los rayos paralelos de una estrella se enfocan finalmente en el ocular colocado en F'.
La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante", se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.
Ejemplo
Dos estaciones LORAN están a una distancia de 400 Km entre sí a lo largo de un litoral recto. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 segundos entre las dos señales LORAN.
a) ¿En qué lugar tocaría tierra si siguiera la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo?
b) Si el barco quiere entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones, a 25 Km de la estación maestra, ¿qué diferencia debe buscar?
Solución:
Fijamos un sistema rectangular de manera que las dos estaciones estén sobre el eje x y el origen a la mitad de la distancia entre ellas.
a) El barco se encuentra en una hipérbola cuyos focos están en la posición de las estaciones. Puesto que la diferencia de tiempo es de 0.00086 seg. y la velocidad de la luz es 300,000 Km/seg, la diferencia entre las distancias del barco a cada estación es
|
La diferencia entre las distancias del barco a cada estación (258) es 2a, de manera que a = 129 y el vértice de la parábola está en ( 129,0) . Como el foco está en ( 200,0) , si el barco sigue la hipérbola tocará tierra a 200-129 = 71 Km de la estación maestra.
b) Para tocar tierra a 25 Km de la estación maestra, el barco deberá seguir una hipérbola con ( 150,0) . Para esta hipérbola, a = 150, por lo que la diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación es de 150. La diferencia de tiempo que el barco debe buscar es
|
Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.
En el siguiente esquema se puede ver cómo se pueden combinar las propiedades ópticas de la parábola y la hipérbola para construir un telescopio.
