Parábola

Propiedad óptica

Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parábola (ver figura). Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Se sigue que si la parábola gira en torno a su eje para formar una concha reflectora hueca, todos los rayos de luz que partan del foco se reflejarán, después de chocar con la concha, paralelos al eje. Esta propiedad de la parábola se usa en el diseño de faros buscadores, en los que la fuente de luz se coloca en el foco. Recíprocamente, se usa en ciertos telescopios en los que los rayos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran son enfocados hacia un solo punto.

Demostración de la propiedad óptica

En la figura, sea QP la tangente en P y GP la paralela al eje de las abscisas. Debemos demostrar que a = b, reducimos el problema a demostrar que el triángulo FQP es isósceles.

Para empezar, obtendremos la abscisa de Q. Derivando y2 = 4px en forma implícita obtenemos 2y'y = 4p, de lo cual concluimos que la pendiente de la tangente en P(x 0,y0) es 2p/y0. La ecuación de esta recta es

y-y0 2p
y0
( x-x0)

Poniendo y = 0   y despejando x se obtiene

-y0 = ( 2p/y0) ( x-x0),

es decir

x-x0 = -y02/2p.

Como y02 = 4px0, obtenemos que x-x0 = -2x0, es decir, x = -x0; Q tiene como coordenadas ( -x0,0) .

Para demostrar que los segmentos FP y FQ tienen la misma longitud, usamos la fórmula de la distancia.

 
| FP |
( ( x0-p) 2 + y0 2) 1/2 = ( x0 2 -2x0p + p 2 + 4px0) 1/2
 
 
( x0 2 + 2x0p + p 2) 1/2 = x0 + p = | FQ | 
 

El sonido y las ondas electromagnéticas obedecen las mismas leyes de la reflexión de la luz, por lo que se usan micrófonos parabólicos para recoger y concentrar sonidos que provienen, por ejemplo, de una parte distante del estadio de fútbol. Las antenas parabólicas utilizan la propiedad de reflexión de las ondas electromagnéticas para recibir o enviar señales a estaciones de radio, satélites de comunicación o galaxias remotas.

Trayectoria parabólica de un proyectil

La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo describe una parábola abierta hacia abajo. Esta propiedad fue descubierta por Galileo en el siglo XVI.

Demostración

Para probar esta propiedad, haremos uso de las siguientes consideraciones físicas. El vector velocidad inicial v0 se descompone en su componente horizontal v0x  y su componente vertical v0y de acuerdo a

v0x = v0cosa            v0y = v0sena

donde a es el ángulo de inclinación del disparo (ver la figura anterior). Si despreciamos la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad es constante a lo largo del tiempo, en cambio, la componente vertical de la velocidad se ve afectada por la fuerza de gravedad de acuerdo a la Ley de Newton:

Si un cuerpo tiene una velocidad vertical inicial y únicamente está sometido a la fuerza de gravedad g, su aceleración en cada instante es -g.

Como la aceleración es la derivada de la velocidad y la velocidad inicial es v0y,  tenemos

v'( t) = -g        v( 0) = v0y

integrando ambos lados,

v( t) = -gt + k 

evaluando v en t = 0, obtenemos que la constante k es igual a v0y.

Como la velocidad es la derivada de la posición y el proyectil es lanzado desde el nivel del piso, tenemos

y'( t) = -gt + v0y        y( 0) = 0 

integrando nuevamente, obtenemos

y(t) = - g
2
t2 + v0yt = - g
2
t2 + (v0sena) t 

donde g = 9.81 m/s2, así después de t segundos las coordenadas de la posición del proyectil son

x = ( v0cosa) t            y = ( v0sena) t- 1
2
gt2

si despejamos t de la primera ecuación y sustituimos su valor en la segunda obtenemos una ecuación de la forma



x- B
2
 

2
 
= -4p(y-A)  

que es la ecuación de una parábola, donde

A =  v0 2sen 2 a
2g
 

es la altura máxima alcanzada por el proyectil y

B =  v02sen2a
g
 

es el alcance del proyectil, es decir, la distancia horizontal que recorre antes de caer al suelo.
 

Ejemplo

Un lanzador de beisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de 100 Km/h y un ángulo de 40. ¿A qué altura llegará la pelota y a qué distancia del lanzador caerá la pelota al piso?

Solución:

Transformamos la velocidad a m/s:

100 Km/h = 100,000 m/h =  100000
3600
m/s = 27. 8 m/s 

Sustituimos los valores conocidos en la expresión para la altura máxima:

A =  27.8 2sen2(40p/180)
29.81
= 16.27 m. 

ahora lo hacemos en la expresión para la distancia máxima:

B =  27.82sen(80p/180)
9.81
= 77. 58 m. 


Puentes colgantes

El cable de suspensión de un puente uniformemente cargado toma la forma de una parábola.

Demostración.

 Consideremos un puente colgante que pesa m kg por metro lineal y que está sostenido por un cable que tiene un peso despreciable comparado con el peso del puente. La sección OP del cable desde el punto más bajo (el origen) a un punto general P( x,y) se muestra en la siguiente figura.

Las fuerzas que actúan en esta sección del cable son:

 
tensión horizontal en 0 
tensión tangencial en P 
mx = peso de x metros de puente
 

Si el puente está en equilibrio, las componentes horizontal y vertical de T deben equilibrar a H y a W respectivamente, por lo tanto

 
Tcosq
mx 
Tsenq
 

Llamamos y( x) a la función que describe la forma del puente.

La curva pasa por el origen, así que y( 0) = 0

Como T es tangente al puente, entonces

 
  dy
dx
 
tanq
 

 

  Tcosq
Tsenq
 
 

 

  H
mx
 
 

debemos resolver entonces

  dy
dx
mx
H
 con la condición y( 0) = 0 

Integrando de ambos lados, obtenemos

y =      mx
H
dx =  m
H
x2 + k 

como y( 0) = 0,entonces k = 0, así que la curva que describe al puente es

y =  m
H
x2

que efectivamente es una parábola.
 
 
 

Ejemplo

Los cables del tramo central de un puente colgante tienen la forma de una parábola. Si las torres tienen una separación de 800 metros y los cables están atados a ellas 400 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 100 metros de la torre? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio del puente.

Solución

La ecuación de la parábola es x2 = 4py. Debemos encontrar p. Como los puntos ( 400,400) y ( -400,400) están en la parábola, resolvemos

4002 = 4p( 400) 

obteniendo p = 100. Así que la ecuación de la parábola es x2 = 400y.

Queremos encontrar ahora la segunda coordenada del punto de la parábola cuya primera coordenada es x = 300.

Resolvemos

3002 = 400y 

obteniendo y = 225.

Así que la altura del puntal que está a 100 m de la torre es de 225 m.


Referencias

        [1]
E. de Oteyza, E. Lam, J.A. Gómez, A. Ramirez, C. Hernández, "Geometría Analítica", Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1994.

[2]
E. Purcell, D.Varberg, "Cálculo con Geometría Analítica", Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1993.

[3]
M. Sullivan, "Trigonometría y Geometría Analítica", Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.