La curva final
En la introducción
se presentó el fractal como una curva que se obtiene
después de muchos pasos de iteración.
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La curva de nivel 1
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La curva de nivel 2
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La curva de nivel 3
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Aquí se pretende ser más preciso:
La curva fractal es la curva al final de toda esta serie de
curvas.
Para entender mejor esto hagamos una analogía con
números:
La sucesión
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
no se aproxima a algún número, porque crece y crece y no hay un
número al final. Ahora abservemos las siguientes series:
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...
Estas se comportan de manera diferente. La primera,
en la medida que avanza, se aproxima cada vez más al 1.
También crece y crece al avanzar, pero nunca rebasa el 1,
se aproxima al 1 tanto como queramos. La segunda en cambio se
aproxima al 0.
Por lo tanto se dice que 1 es el número al final de la primera
serie y el 0 el número al final de la segunda
serie.
Ahora veamos una sucesión de curvas
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La curva 1
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La curva 2
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La curva 3
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La curva 4
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La curva 5
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La curva 6
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Al avanzar en la serie, las curvas se acercan cada vez más a las
esquinas. De manera que la figura roja es la
curva al final de la sucesión.
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La curva final
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Todas las curvas
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A la derecha se observan todas las curvas junto con la curva final. Notamos que
cada curva en la sucesión es "redonda", es decir no tiene esquinas, pero
la curva al final sí tiene. Hay un brinco cuando pasamos de la sucesión
al final de ésta. Esto no es tan sorprendente, si notamos que también
en la sucesión de números 1/1, 1/2, 1/3 hay un cambio: cada número
es mayor que cero, pero el número al final no lo es.
Ahora ya no nos debe sorprender que la curva al final de la sucesión
de arriba es:
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La curva de nivel 1
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La curva de nivel 2
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La curva final
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y que tiene unas propiedades extrañas. Una parte suya es, al ampliar por
un factor tres, igual a toda la figura. Esto no sucede con las curvas en la sucesión:
si ampliamos una parte por un factor tres obtenemos la curva anterior en
la sucesión.
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Al ampliar una parte se obtiene la misma curva de nuevo
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Al ampliar una parte se obtiene la curva anterior en la sucesión
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Por último observemos un caso donde la curva final
llena todo un cuadrado. La sucesión es la siguiente:
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La curva 1
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La curva 2
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La curva 3
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La curva 4
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La curva 5
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La curva 6
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En cada paso en la sucesión se tiene que dibujar 4 copias de la curva anterior
a una escala 1/2, dos de estas copias van arriba, una abajo a la izquierda volteada
90 grados en dirección del reloj y la cuarta abajo a la derecha, volteada
al revés. Estas cuatro partes hay que unirlas para obtener la siguiente
curva en la sucesión.
La curva al final pasa por cada punto del cuadrado completo, pero por algunos
puntos pasa más que una vez. El primero que construyó una curva
así fue Giuseppe Peano, pero su construcción
no era geométrica. La sucesión de curvas que se ve aquí
es de David Hilbert. Por ello, curvas que llenan
toda un área completa se llaman hoy curvas de Peano o curvas
de Hilbert. En el simulador de fractales se
encuentran varias curvas de Peano.