Los nombres de las curvas que trataremos a continuación son un poco raros pero con mucho significado ya que sus raíces están en el griego y el latín. Por ejemplo, la braquistócrona está hecha de dos palabras griegas: bracistoz (braquistos) que quiere decir, el más corto, y cronoz (cronos), tiempo; braquistócrona literalmente quiere decir, de tiempo mínimo.

El gran Galileo Galilei (1564-1642), astrónomo y físico italiano se preguntaba ¿qué forma debe tener un canal metálico bien pulido que une dos puntos fijos A y B para que sea mínimo el tiempo que invierte una bola metálica pulida en recorrerlo desde el punto A hasta el punto B? A primera vista parecería que el canal debe ser rectilíneo pues sólo en ese caso la bola recorrerá el camino más corto entre A y B. Pero se trata del camino de tiempo mínimo y no del camino más corto y este tiempo, aparte de la longitud del recorrido, depende también de la velocidad de la bola.

De esto es claro que el canal debe tener una forma cóncava, pero ¿cuál? La forma de la curva fue manzana de la discordia entre matemáticos.

Hagamos un poco de historia y situémonos con Isaac Newton (1642-1727), el sucesor de Galileo. Estamos en Inglaterra el día 29 de Enero de 1697. Gran Bretaña recolectaba las monedas viejas y lanzaba una edición nueva al mercado. Newton, presente en todos lados y haciéndolo todo, inclusive, estudiar la metalurgia del acuñado de monedas para mejorarla, regresa a casa buscando paz y quietud después de un día de trabajo agobiante como administrador de la Casa de Moneda y encuentra una carta de Johann Bernoulli. La carta le plantea el problema de las propiedades de la braquistócrona. Bernoulli sabía de estas propiedades y tenía su solución propia. No hay duda, Bernoulli intenta avergonzarlo. Bernoulli apoya a Gottfried Leibnitz y su reclamo de ser el inventor del cálculo e intenta mostrar que sólo Leibnitz y sus seguidores conocen del tema lo suficiente para ser capaces de resolver el problema del tiempo mínimo. ¡OK! Reto aceptado.

El administrador se sienta a trabajar desconociendo que este problema lo han medio entendido, sólo al punto de proponer soluciones, cuatro personas en el continente europeo en el transcurso de diez meses, entre ellos el hermano de Johann, Jacob Bernoulli y L'Hôspital... El aceite de su lámpara de noche arde y, a eso de las 4 a. m., ha terminado. El problema no sólo quedó resuelto sino que, en un escaso par de páginas, lo resolvió con elegancia y de manera definitiva. Isaac Newton tenía entonces 55 años.

Es uno de los primeros problemas variacionales y su investigación fue el punto de partida para el desarrollo del cálculo de variaciones.

La curva de Newton se muestra en la figura y es un arco de cicloide invertida.