En la figura, sea QMNS la mitad de un arco de la cicloide generada por el círculo O. El área de QMNP es el doble del área del círculo O. Construya segmentos de línea infinitesimales paralelos a QM con longitud determinada por la distancia horizontal entre el diámetro PQ y la circunferencia de un semicírculo, esto es, AB. Para cada línea en el semicírculo, una línea correspondiente de la misma longitud se construye desde el cicloide como se muestra, esta es, CD. La sucesión de tales infinitesimales determina, en sus puntos extremos, una curva NRQ llamada la compañera de la cicloide. El área contenida entre la cicloide y su compañera se compone de los infinitesimales que corresponden a aquellos del semicírculo, esto es, a un medio del área del círculo O. Ahora, por el teorema de Cavalieri (que dice: si dos áreas tienen el mismo ancho en cualquier lugar, entonces las áreas son iguales), NRQ biseca QMNP, por consiguiente, el área bajo NRQ es igual al área del círculo O. Sumando el área de estas dos regiones: QMNR y QRNS, se encuentra que el área bajo la mitad del arco de la cicloide, es igual a 3/2 el área del círculo O. Por tanto, se puede concluir que el área contenida en un arco de la cicloide, es tres veces el área del círculo que la genera.