La seudoesfera es una superficie en forma de trompeta con la propiedad de tener curvatura negativa constante. La esfera, por ejemplo, tiene curvatura positiva constante.

Sobre esta seudoesfera fue posible explicar una clase de geometría no-euclidiana; una geometría que ahora se llama de Lobachevsky y no de Euclides. Esta geometría, y otras, surge cuando tratamos de probar el quinto postulado de la geometría de Euclides, el que dice:

Si una línea recta que interseca a otras dos líneas rectas hace a los ángulos interiores en el mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces, las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se cruzarán en el lado en que los ángulos sean menores que dos ángulos rectos.

Este postulado es mejor conocido como: Dada una línea y un punto que no está en la línea, hay una única línea que pasa por el punto y que es paralela a la línea.

Lo anterior vale cuando tratamos con las líneas rectas que todos conocemos. Pero esto es precisamente lo que cambia en la geometría no euclidiana, el concepto de líneas rectas, el de ángulos y el de paralelismo entre ellas. El mundo y, la vida, es otro en una superficie no euclidiana como la seudoesfera.