1 Cubriendo el plano con polígonos
regulares congruentes
Cuando caminamos por un piso
pisamos cuadrados, a veces rectángulos, pero casi nunca las losetas de los pisos
tienen otras formas y generalmente todas las losetas son iguales, solo ocasionalmente
se combinan de tipos diferentes, caminamos sobre cuadrados a fin de cuentas, aunque
de distinto tamaño. ¿Por qué casi siempre las losetas que se fabrican para el
piso son cuadradas? ¿se podrían fabricar losetas con forma de otro polígono regular?.
A lo mejor sí... Supongamos que se puede cubrir el piso con losetas que tengan
un lado más que las comunes, con pentágonos regulares y experimentemos. En la
figura 1.1 en el recuadro superior izquierdo se
puede ver el resultado: es un fracaso, por más que intentemos siempre queda un
indeseable hueco entre dos losetas. ¿Qué características debe tener la forma de
las losetas para cubrir completamente el plano del suelo?.
Figura 1.1: Losetas buenas y malas para cubrir el piso.
Procedamos a hacer un análisis
general de la situación, primero deseamos saber si es posible cubrir el plano
con losetas que tengan forma regular, n lados y que sean todas iguales.
Calculemos primero el valor del ángulo interior de una loseta regular de
n lados al que llamaremos b, si trazamos rayos
a partir del centro de un polígono regular de n lados hacia cada uno
de los vértices obtenemos triángulos, en la figura 1.2
se muestra el ejemplo con un pentágono, pero lo podemos hacer con cualquier polígono.
Sabemos de la geometría elemental plana, que la suma de los ángulos internos de
cualquier triángulo es 180o=p, así que
h + f + f
= p pero justamente
f + f = 2 f
= b donde b es el ángulo buscado.
Figura 1.2: Determinación del ángulo interior b de un polígono regular.
Entonces:
p
=
h+ f+ f
=
h+ 2 f
=
h+ b
(1.1)
Además sabemos que, como estamos
trabajando con polígonos regulares:
Por otra parte, si pretendemos
que alrededor de cada vértice del enlosado se coloque exactamente un número
entero k de polígonos regulares, necesariamente tendremos que k
veces el ángulo b debe ser una vuelta completa
(2 p). Así que:
Las únicas soluciones
posibles para 1.8 son mostradas en la tabla
1.1, es decir, sólo es posible cubrir el plano completamente uniendo
alrededor de cada vértice del enlosado: 6 polígonos regulares de 3 lados
(triángulos), 4 de 4 lados (cuadrados) o 3 de 6 lados (hexágonos); tal
como se muestra en la figura 1.1
k
n
6
3
4
4
3
6
Tabla 1.1: Posibles valores de n (número de lados del polígono
regular) y k (numero de polígonos alrededor de cada vértice del
enlosado) que satisfacen la ec. 1.8.
También a partir de 1.7
es posible obtener lo siguiente:
