1  Cubriendo el plano con polígonos regulares congruentes

Cuando caminamos por un piso pisamos cuadrados, a veces rectángulos, pero casi nunca las losetas de los pisos tienen otras formas y generalmente todas las losetas son iguales, solo ocasionalmente se combinan de tipos diferentes, caminamos sobre cuadrados a fin de cuentas, aunque de distinto tamaño. Por qué casi siempre las losetas que se fabrican para el piso son cuadradas? se podrían fabricar losetas con forma de otro polígono regular?. A lo mejor sí... Supongamos que se puede cubrir el piso con losetas que tengan un lado más que las comunes, con pentágonos regulares y experimentemos. En la figura 1.1 en el recuadro superior izquierdo se puede ver el resultado: es un fracaso, por más que intentemos siempre queda un indeseable hueco entre dos losetas. Qué características debe tener la forma de las losetas para cubrir completamente el plano del suelo?.


Figura 1.1: Losetas buenas y malas para cubrir el piso.

Procedamos a hacer un análisis general de la situación, primero deseamos saber si es posible cubrir el plano con losetas que tengan forma regular, n lados y que sean todas iguales.
Calculemos primero el valor del ángulo interior de una loseta regular de n lados al que llamaremos b, si trazamos rayos a partir del centro de un polígono regular de n lados hacia cada uno de los vértices obtenemos triángulos, en la figura 1.2 se muestra el ejemplo con un pentágono, pero lo podemos hacer con cualquier polígono. Sabemos de la geometría elemental plana, que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180o=p, así que h + f + f = p pero justamente f + f = 2 f = b donde b es el ángulo buscado.



Figura 1.2: Determinación del ángulo interior b de un polígono regular.

Entonces:
p
=
h+ f+ f
=
h+ 2 f
=
h+ b
(1.1)

Además sabemos que, como estamos trabajando con polígonos regulares:
h = 360o

n
= 2 p

n
(1.2)

substituyendo 1.2 en 1.1:
p
=
b+ 2 p

n

De modo que:
b
=
p - 2 p

n
=
p
1- 2

n

=
p
n-2

n

(1.3)

Por otra parte, si pretendemos que alrededor de cada vértice del enlosado se coloque exactamente un número entero k de polígonos regulares, necesariamente tendremos que k veces el ángulo b debe ser una vuelta completa (2 p). Así que:
b = 2 p

k
(1.4)

Igualando 1.3 y 1.4:
p
n-2

n

= 2 p

k
(1.5)
eliminando p de ambos lados:

n-2

n

= 2

k
(1.6)

Manipulando 1.6 obtenemos:
2
=
k
n-2

n

2n
=
kn -2k
2n + 2k
=
kn
2 ( n + k )
=
kn
(1.7)

A partir de 1.7:
kn - 2 ( n + k )
=
0
kn - 2n - 2k
=
0
kn - 2n - 2k -4 + 4
=
0
kn - 2n - 2k + 4
=
4
( k-2 ) ( n-2 )
=
4
(1.8)

Las únicas soluciones posibles para 1.8 son mostradas en la tabla 1.1, es decir, sólo es posible cubrir el plano completamente uniendo alrededor de cada vértice del enlosado: 6 polígonos regulares de 3 lados (triángulos), 4 de 4 lados (cuadrados) o 3 de 6 lados (hexágonos); tal como se muestra en la figura 1.1
k n
6 3
4 4
3 6
Tabla 1.1: Posibles valores de n (número de lados del polígono regular)
y k (numero de polígonos alrededor de cada vértice del enlosado)
que satisfacen la ec. 1.8.

También a partir de 1.7 es posible obtener lo siguiente:
n+k
=
1

2
k n
n+k

kn
=
1

2
1

k
+ 1

n
=
1

2
(1.9)