Matemáticas

Medianas y gravicentro de un triángulo

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En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son
los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices.
En este interactivo estudiamos las medianas y el gravicentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que
las medianas de un triángulo son concurrentes.

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Título de la unidad didáctica

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En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son
los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices.
En este interactivo empezaremos con las alturas y el ortocentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que
las alturas de un triángulo son concurrentes.

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Los teoremas de Ceva y Menelao

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Se estudian los teoremas de Ceva y Menelao y algunas de sus aplicaciones, por ejemplo: la existencia del
ortocentro, incentro y gravicentro de un triangulo.
Los teoremas de Ceva y Menelao están separados 15 siglos en la historia, sin embargo, se estudian juntos
ya que uno es el dual del otro. El teorema de Ceva da condiciones para que tres puntos que están en los
lados de un triángulo sean colineales y el de Menelao dice cuándo tres rectas que pasan por los vértices
de un triángulo son concurrentes.

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Cálculo integral

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La determinación de la recta tangente a una curva y el cálculo de áreas son dos problemas que han ido
resolviéndose históricamente por caminos diferentes y, a priori, parecen no tener relación. Pero el Cálculo
Diferencial permitió mostrar que, ambos, no son más que dos caras de la misma moneda.
Adicionalmente, la autoría de éste cálculo fue muy disputada entre Newton y Leibniz y ello dio base a
establecer que la misma queda asociada a la fecha de publicación. Newton y Leibniz fueron dos genios,
mal avenidos, pero ciertamente ambos llegaron a ver más no sólo por ir a hombros de gigantes, sino porque
ambos supieron mirar muy lejos.
En esta unidad se:
a) Formula el Teorema fundamental del Calculo Integral que relaciona a la función área con la derivación
b) Se enunciar la Regla de Barrow que permite el cálculo de la integral definida en base a las primitivas de
una función y consecuentemten establece la necesidad de cálcular dichas primitivas.
c) Aprender a calcular primitivas por diferentes métodos.
d) Aplicación al cálculo de áreas de trapecios mixtilíneos y área encerrada entre dos curvas.

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Diagramas de Venn

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Los Diagramas de Venn son representaciones usadas en la rama de la lógica matemática conocida
como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para representar la agrupación de los elementos
en conjuntos y las diferentes combinaciones lógicas en uno o más atributos .

Los objetivos a lograr en esta unidad son:

* Representar, en un diagrama de Venn, uno, dos o tres atributos.
* Representar, en un diagrama de Venn, las operaciones entre conjuntos.
* Demostrar, gráficamente, las leyes de Morgan

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Diagramas de Carroll y mapas de Karnaugh

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Una alternativa más cómoda y, en nuestro concepto, más lógica, para representar dos o más conjuntos,
son los diagramas de Carroll. En Game of Logic, Lewis Carroll hace una introducción instructiva a
los conceptos de la lógica, usando diagramas biliterales y triliterales tipo eulerianos. Por otra parte,
las representaciones de uno o más atributos y las simplificaciones booleanas o de circuitos lógicos
se comprenden mejor con los mapas de Karnaugh que, a través del agrupamiento de ceros y unos,
dentro del mapa, ayuda a visualizar las relaciones lógicas entre las variables y conduce directamente
a una función booleana simplificada. Ambos diagramas, Carroll y Karnaugh, tienen una lógica de
construcción similar.

Los objetivos a lograr en esta unidad son:

* Representar, en un diagrama de Carroll, dos, tres o cuatro atributos.
* Representar, en un diagrama de Carroll, las operaciones entre conjuntos.
* Utilizar los mapas de Karnaugh para representar relaciones lógicas entre dos, tres y cuatro variables.

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Caos Determinista

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Se introducirá al alumno al tema de Caos. Se desarrollará el tema desde el ámbito
de los mapeos discretos unidimensionales, en especial el mapeo logístico, para que
el alumno conozca las principales características del caos, y algunos métodos de
observación y cuantificación.

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Redes de Mundo pequeño

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Se introducirá al alumno a las redes de mundo pequeño, para que conozca algunas
de sus propiedades básicas y sea capaz de cuantificar y distinguir sus principales
características.

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La dimensión fractal: fractales generados por algoritmos aleatorios

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Continuando el tema introducido en la unidad 'La dimensión fractal: fractales generados por algoritmos no aleatorios', la presente unidad lidia con fractales generados por algoritmos que involucran aleatoriedad, en particular el generado mediante agregación limitada por difusión (DLA, por sus siglas en inglés de Diffusion Limited Aggregation). Se estudia otra forma de cálculo de la dimensión fractal para ellos (una forma de conteo de celdas conocido en inglés como 'box counting method'), y se pone en relación con el ejemplo del fractal de Hilbert de la unidad previa. Adicionalmente, se hace una asociación con los fractales presentes en la naturaleza y se sugiere a la dimensión fractal como una "huella digital" del algoritmo de formación de dichos fractales, misma que compartirán todos con un algoritmo semejante.

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La dimensi&oacuten fractal: fractales generados por algoritmos no aleatorios

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En esta unidad se presentan principalmente los fractales de Koch, Hilbert, y la isla de Gosper con el objeto de introducir al alumno las dos propiedades de los fractales: autosimilitud e invarianza de escala. Adicionalmente, se analiza la divergencia de la longitud de las curvas si se consideran sólo unidimensionales, justificando así la necesidad de considerar dimensiones distintas para la curva, que no necesariamente han de ser enteras. A pesar de considerarse sólo fractales diseñados, se deja abierta la posibilidad de considerar dimensión fractal para fractales "experimentales", mismos que se abordan en otra unidad.

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