Geometría

Medianas y gravicentro de un triángulo

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En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son
los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices.
En este interactivo estudiamos las medianas y el gravicentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que
las medianas de un triángulo son concurrentes.

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Título de la unidad didáctica

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En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son
los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices.
En este interactivo empezaremos con las alturas y el ortocentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que
las alturas de un triángulo son concurrentes.

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Los teoremas de Ceva y Menelao

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Se estudian los teoremas de Ceva y Menelao y algunas de sus aplicaciones, por ejemplo: la existencia del
ortocentro, incentro y gravicentro de un triangulo.
Los teoremas de Ceva y Menelao están separados 15 siglos en la historia, sin embargo, se estudian juntos
ya que uno es el dual del otro. El teorema de Ceva da condiciones para que tres puntos que están en los
lados de un triángulo sean colineales y el de Menelao dice cuándo tres rectas que pasan por los vértices
de un triángulo son concurrentes.

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La dimensi&oacuten fractal: fractales generados por algoritmos no aleatorios

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En esta unidad se presentan principalmente los fractales de Koch, Hilbert, y la isla de Gosper con el objeto de introducir al alumno las dos propiedades de los fractales: autosimilitud e invarianza de escala. Adicionalmente, se analiza la divergencia de la longitud de las curvas si se consideran sólo unidimensionales, justificando así la necesidad de considerar dimensiones distintas para la curva, que no necesariamente han de ser enteras. A pesar de considerarse sólo fractales diseñados, se deja abierta la posibilidad de considerar dimensión fractal para fractales "experimentales", mismos que se abordan en otra unidad.

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El teorema de Pick

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Presentar un resultado poco conocido para el cálculo del área de polígonos simples cuyos vértices
se encuentran en coordenadas enteras: el Teorema de Pick. Se trata de una herramienta muy útil que es,
además, fácil de utilizar y aprender.

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Curvas cíclicas en forma paramétrica

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El objetivo de esta unidad didáctica es mostrar al estudiante cómo se genera la gráfica de
algunas curvas cíclicas como la trayectoria de un cuerpo en movimiento: Cicloides, Epicicloides e Hipocicloides.

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El caleidoscopio y la Teoría de Grupos

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Se presenta la geometría del caleidoscopio y se exploran
las transformaciones (reflexiones, traslaciones,
rotaciones y pasos) involucradas en la producción de
las imágenes de un caleidoscopio por medio de la
reflexión respecto a los tres lados de un triángulo equilátero.
Esto se hace con el objeto de llevar al estudiante a descubrir
y conocer las transformaciones lineales isométricas del plano y,
a través de ellas, el origen de la Teoría de Grupos.

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Recta y plano tangente

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Se definen:
a) La recta tangente a una función en un punto, como la recta que mejor se aproxima a dicha función en el entorno próximo a él, y se determina su ecuación. Se aborda el cálculo de derivadas.
b) El plano tangente a una superficie en un punto, como el plano que mejor se aproxima a dicha superficie en el entorno proximo a él. Se presentan tanto las derivadas parciales como las direccionales, y cómo calcular éstas a partir de las primeras.Se ve la relación existente entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad. Se muestra que la existencia de todas las derivadas direccionales, no es suficiente para la existencia del plano tangente. Pero si existe éste, basta calcular las derivadas parciales.

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El cono y la esfera según Arquímedes.

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En esta unidad se presentan la esfera y los sectores de un
cono circular recto que forman una cubierta ajustada de la esfera.
Se evidencia que al hacer dichas secciones más finas, éstas se
ajustan muy precisamente a la esfera, por lo que el cálculo de
la superficie de la esfera puede hacerse utilizando las
secciones del cono cuya área puede calcularse.
Adicionalmente, se hace la observación de que los sectores
cónicos comparten el área de un cilindro con igual altura y
un radio igual al radio medio del sector, así pudiendo
relacionar el área de la esfera con la del mínimo cilindro que
la contiene, que por cierto es el resultado del cual Arquímedes
se sentía más orgulloso.

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Geometría no euclídeas

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Se introducen los fundamentos de la Geometría Euclídea. Se enuncian los elementos básicos y los postulados formulados por Euclides, y con base en ellos se demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo plano son dos ángulos rectos.
Asimismo, se demuestra que hay otros modelos, en que dicha suma es una cantidad superior o inferior a esos dos ángulos rectos.
Finalmente, se muestra que hay modelos geométricos que en los que no se cumple el postulado quinto de Euclides, que hay geometríías no euclídeas.

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