Cálculo

Cálculo integral

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La determinación de la recta tangente a una curva y el cálculo de áreas son dos problemas que han ido
resolviéndose históricamente por caminos diferentes y, a priori, parecen no tener relación. Pero el Cálculo
Diferencial permitió mostrar que, ambos, no son más que dos caras de la misma moneda.
Adicionalmente, la autoría de éste cálculo fue muy disputada entre Newton y Leibniz y ello dio base a
establecer que la misma queda asociada a la fecha de publicación. Newton y Leibniz fueron dos genios,
mal avenidos, pero ciertamente ambos llegaron a ver más no sólo por ir a hombros de gigantes, sino porque
ambos supieron mirar muy lejos.
En esta unidad se:
a) Formula el Teorema fundamental del Calculo Integral que relaciona a la función área con la derivación
b) Se enunciar la Regla de Barrow que permite el cálculo de la integral definida en base a las primitivas de
una función y consecuentemten establece la necesidad de cálcular dichas primitivas.
c) Aprender a calcular primitivas por diferentes métodos.
d) Aplicación al cálculo de áreas de trapecios mixtilíneos y área encerrada entre dos curvas.

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La dimensi&oacuten fractal: fractales generados por algoritmos no aleatorios

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En esta unidad se presentan principalmente los fractales de Koch, Hilbert, y la isla de Gosper con el objeto de introducir al alumno las dos propiedades de los fractales: autosimilitud e invarianza de escala. Adicionalmente, se analiza la divergencia de la longitud de las curvas si se consideran sólo unidimensionales, justificando así la necesidad de considerar dimensiones distintas para la curva, que no necesariamente han de ser enteras. A pesar de considerarse sólo fractales diseñados, se deja abierta la posibilidad de considerar dimensión fractal para fractales "experimentales", mismos que se abordan en otra unidad.

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Resolución numérica de ecuaciones

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Resolver una ecuación f(x)=0 es determinar aquellos valores que verifican esa igualdad.
La teoría de Galois muestra cómo las ecuaciones polinómicas --las que podemos considerar como las más
sencillas al intervenir sólo sumas, restas y multiplicaciones-- de grado mayor o igual que cinco no son
resolubres por radicales, es decir, que no puede encontrarse una expresión algebráica que permita calcular
sus raíces. Por tanto sólo sabemos cómo resolver unos pocos tipos de una infinidad de ecuaciones. Es
necesario proceder a determinar soluciones aproximadas con una precisión deseada y para ello se utilizan
metodos iterativos que a partir de un valor inicial se construye una sucesión de valores que converja a una
solución.
En esta unidad se busca aprender los siguientes métodos iterativos para la resolución de ecuaciones:
a) Método de la bisección
b) Método de la Secante
c) Método de la Regula Falsi
d) Método de Newton

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Polinomios de Taylor

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El objetivo de esta unidad es conocer y aplicar el polinomio de Taylor para la aproximación local de
funciones y medir el error de esa aproximación; observando la incidencia que tiene en esta medida el grado
del polinomio utilizado y la cercanía al punto en el que se hace el desarrollo.

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El cono y la esfera según Arquímedes.

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En esta unidad se presentan la esfera y los sectores de un
cono circular recto que forman una cubierta ajustada de la esfera.
Se evidencia que al hacer dichas secciones más finas, éstas se
ajustan muy precisamente a la esfera, por lo que el cálculo de
la superficie de la esfera puede hacerse utilizando las
secciones del cono cuya área puede calcularse.
Adicionalmente, se hace la observación de que los sectores
cónicos comparten el área de un cilindro con igual altura y
un radio igual al radio medio del sector, así pudiendo
relacionar el área de la esfera con la del mínimo cilindro que
la contiene, que por cierto es el resultado del cual Arquímedes
se sentía más orgulloso.

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Operaciones con funciones y sus gráficas

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Se estudia el resultado gráfico de una operación con dos funciones f(x) y g(x).
Específicamente las operaciones de suma f(x) +g(x), diferencia f(x)-g(x),
producto f(x)*g(x), los cocientes f(x)/g(x) y g(x)/f(x) y las composiciones
f(g(x)) y g(f(x)). Primero el estudio se hace con funciones f(x) y g(x) lineales
y luego con funciones más generales, en particular con polinomios, senoides y
campanas de Gauss.

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Sucesiones y series

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El objetivo de esta unidad es introducir al alumno al concepto de sucesión. Para ello, se proporciona una ecuación inicial, cuyos parámetros pueden modificarse. El alumno puede editar la ecuación misma para probar ecuaciones de su elección. La sucesión se calcula paso a paso para observar cómo cambia respecto al parámetro n. Es posible observar, en caso de que la haya, que la sucesión tiene una cota que no es rebasada, y ésta es gráficamente representada por una recta para introducir el concepto de asíntota. Lo mismo se hace con sucesiones generadas mediante la aplicación recursiva de una función y las sucesiones correspondientes a una serie.

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Series

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Los objetivos de la unidad son los siguientes:
- introducir el concepto de convergencia de una serie
- analizar la convergencia de algunas series notables como son las geométricas y las armónicas

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Sucesiones Numéricas

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Se presentan algunos conceptos relacionados con las sucesiones, y dos tipos especiales de ellas: las aritméticas y las geométricas. Asimismo, se estudia el problema del límite de una sucesión, mostrando gráficamente el significado de convergencia a un número real, y de divergencia a infinito.

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Introducción al cálculo

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El objetivo de esta unidad es presentar al alumno los tres conceptos fundamentales del cálculo: el límite, la derivada y la integral, y el teorema fundamental del cálculo. El alumno podrá experimentar con los interactivos observando que el cálculo se basa en problemas de resolver límites, ya sea el límite de la suma de polígonos para el caso de la integral, o el límite de la pendiente de dos puntos arbitrariamente cercanos en una curva para la derivada. Se explica que el teorema fundamental del cálculo permite relacionar a la derivada e integral como funciones inversas.

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