Definición formal de límite
Cuándo un número L no es el límite de f(x)
En la escena anterior vimos un ejemplo de una función que tiene una discontinuidad
removible. Como habíamos mencionado, hay discontinuidades que no son
removibles.
Solemos referirnos a la discontinuidad del último ejemplo de la sección Inicio
como discontinuidad de salto, y es este tipo de discontinuidad el que vamos
a tratar en las siguientes dos escenas interactivas. Veremos cómo demostrar que un número \(L\) no es el
límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\) para una función con una
discontinuidad de este tipo.
Podemos demostrar que \[\lim_{x \to x_0} f(x) \neq L\] dando una \(\varepsilon >0\) tal que ninguna \(\delta >0\) satisfaga la condición:
Logramos esto para nuestro candidato \(\varepsilon \) demostrando que para cada \(\delta >0\) existe un valor \(x\) tal que
Prueba con distintos valores de \(\varepsilon \) y de \( \delta \) que siempre se puede encontrar tal valor de \(x\).
En esta escena interactiva modifica el valor de \(\varepsilon \) y de \(\delta \) para que observes que siempre existe \(x\) tal que \(0<|x-x_0|<\delta\) y \(|f(x)-L|\geq \varepsilon \).
Sea
\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
x,& si & x <1 \\
\\ x+1, & si &x>1 \\
\end{array}
\right.\]
y sea \(\varepsilon =\frac{1}{2}\). Demuestra que ninguna
\( \delta >0 \) satisface la condición siguiente:
Es decir, para cada \( \delta >0 \) demuestra que hay un valor de \(x\) tal que
- \(\lim_{x \to 1}f(x) \neq 1\)
- \(\lim_{x \to 1}f(x) \neq 1.5\)
En esta escena interactiva modifica el valor de \(\varepsilon \) y de \(\delta \) para que observes que siempre existe \(x\) tal que \(0<|x-x_0|<\delta\) y \(|f(x)-L|\geq \varepsilon \).
Créditos
Escena original
Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Adaptación
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.
La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.
LITE - UnADM 2015