Cómo encontrar \(\delta \) dado \(\varepsilon \)
Cómo encontrar \(\delta \) dado \(\varepsilon \)
En la sección anterior vimos cuatro ejemplos de funciones discontinuas (o no
continuas). Tres de los cuatro ejemplos muestran discontinuidades no removibles,
pues no hay forma de redefinir una función de tal manera que incluya a la función
en cuestión pero quitando la discontinuidad. Otro de los ejemplos es el de una
discontinuidad removible:
\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
e^x, & si & x \neq 1 \\
\\ 1, & si & x =1
\end{array}
\right.\]
Esta discontinuidad es removible, pues la función \(g(x)=e^x\) es continua para
toda \(x \in \mathbb{R} \), es decir, \(g(1)=e\) y no \(1\).
En la siguiente escena interactiva trataremos un ejemplo de una función con una discontinuidad
removible y veremos cómo calcular su límite usando la definición formal.
\(¿\)Cómo demostramos que \[\lim_{x \to 1}f(x)=1\] si \[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2, & si & x \neq 1 \\ \\ 2, & si & x =1 \end{array} ?\right.\] Nuestra tarea es demostrar que dado \(\varepsilon >0 \), existe \(\delta >0\) tal que para toda \(x\) tal que \(0<|x-1|<\delta \) \(\Rightarrow \) \(|f(x)-1|<\varepsilon \).
Paso 1: resolver la desigualdad
\[|f(x)-1|<\varepsilon \]
para encontrar un intervalo abierto al rededor de \(x_0=1\) en el que la desigualdad se cumpla para toda \(x\neq x_0\).
Para \(x\neq x_0=1\) tenemos que \(f(x)=x^2\), entonces
Observación 1: \( \varepsilon \) debe ser tal que \( 1-\varepsilon \geq 0\) y \( 1+\varepsilon \geq 0\).
Paso 2: encontrar un valor de \(\delta >0\) tal que
el intervalo \( (1-\delta,1+\delta )\) esté contenido en
el intervalo \( ( \sqrt{1-\varepsilon },\sqrt{1+\varepsilon } )\).
Tomamos \(\delta\) como la distancia de \(x_0=1\)
al extremo más cercano del intervalo
\((1-\delta,1+\delta )\), es decir
\[\delta=min(1-\sqrt{1-\varepsilon } ,\sqrt{1+\varepsilon } -1)\]
Observación 2: si \( \sqrt{1-\varepsilon } \) o \( \sqrt{1-\varepsilon } \) no está
definida, tampoco lo está \(\delta\).
Si \(\delta\) es este mínimo o cualquier otro
número menor, la desigualdad
\(0<|x-1|<\delta \) va a colocar automáticamente a \(x\) entre \( \sqrt{1-\varepsilon } \) y \(\sqrt{1+\varepsilon } \) para hacer
\(|f(x)-1|<\varepsilon \).
Entonces, para toda \(x\)
\[0<|x-1|<\delta ⇒|f(x)-1|<\varepsilon\]
con lo que la demostración está terminada.
¿Por qué es suficiente tomar \(\varepsilon <1\)?
Porque encontrando una \(\delta\) tal que para
toda \(x\), \(0<|x-1|<\delta \) implica que
\(|f(x)-1|<\varepsilon <1\), encontramos una \(\delta \) que
también funciona para cualquier \(\varepsilon \) mayor.
Varía el valor de \(\varepsilon \), mueve el punto \(x_0\) y observa qué sucede en la gráfica. Puedes cambiar la escala y desplazar el origen del plano cartesiano.
Créditos
Escena original
Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación |
Leticia Montserrat Vargas Rocha José Luis Abreu León |
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Adaptación
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.
La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.
La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.
LITE - UnADM 2015