La ecuación de los Espejos Esféricos
La óptica geométrica simplifica el cálculo de las imágenes producidas por los espejos esféricos limitándose a considerar los rayos que son casi paralelos al eje del espejo o de la lente. En el caso del espejo esférico, la posición de la imagen de un punto se puede calcular usando sólo la intersección del rayo que pasa por el centro C y el que pasa por el vértice V, es decir, los rayos verde y azul de la escena siguiente. Las otras intersecciones de rayos se ignoran sabiendo que tienden a coincidir con esta en el límite cuando los rayos se alejan poco del eje del espejo.
La siguiente escena sólo presenta la imagen calculada usando los rayos verde y azul y
en cambio el rayo rojo se hace pasar artificialmente por la punta de la flecha calculada,
que presisamente el cálculo aproximado que ofrece la óptica geométrica. Como puede
verse, el rayo rojo reflejado casi siempre pasa por el foco. Las dimensiones indicadas en
la escena son las variables s, h,s',h' y f
cuyas definiciones son éstas:
s = la distancia del objeto al vértice V,
h = altura de la flecha (la distancia del objeto al eje del espejo),
s' = distancia de la imagen al vértice,
h' = altura de la imagen y
f = distancia focal, es decir, la mitad del radio r
de la esfera.
El cálculo de la imagen se realiza usando la ecuación del espejo esférico cuya deducción se presenta a continuación:
El caso de los espejos convexos se resuelve de igual manera, de hecho funciona la misma ecuación, sólo que en este caso las imágenes son siempre virtuales y tanto r como f y s´ son valores negativos. La siguiente escena muestra un espejo esférico convexo. Las reflexiones de los rayos se han prolongado hacia el interior del espejo en un color más tenue para mostrar de dónde parecen provenir los rayos reflejados. El alumno puede mover el objeto (la flecha) y el centro C del espejo y comprobar que la imagen queda siempre detrás del espejo (imagen virtual).
Es importante recordar que este modelo matemático del espejo esférico es sólo valido como una aproximación para cuando los rayos incidentes son cercanos al vértice. Para los rayos que inciden lejos del vértice el modelo falla produciendo el fenómeno de aberración que consiste en que la imagen observada aparece deformada.
En la antigua Grecia se sabía que los espejos parabólicos, que son paraboloides de revolución, tienen la propiedad de concentrar los rayos paralelos al eje de simetría en el foco del paraboloide. Se dice que dicha propiedad fue utilizada por Arquímedes para quemar las naves enemigas Los espejos esféricos no cumplen exactamente esta propiedad, pero la cumplen aproximadamente, es decir, las reflexiones de los rayos que inciden paralelamente al eje de un espejo esférico muy cerca del vértice pasan muy cerca del foco. Según la ecuación del espejo pasarían exactamente por el foco, pero recordemos que dicha ecuación es sólo una aproximación. La siguiente escena ilustra este fenómeno.
El alumno puede arrastrar el punto C para cambiar el radio del espejo y el punto A para cambiar su anchura. Así podrá comprobar que si el radio del espejo es grande comparado con su anchura entonces casi todos los rayos reflejados pasan por el foco F, en cambio si el radio es pequeño y el espejo es muy ancho, entonces los reflejos de los rayos que inciden en los extremos pasan lejos del foco.
En los espejos convexos los rayos paralelos se reflejan de manera que casi todos ellos parecen provenir del foco F, como muestra la siguiente escena. Esta es la razón por la cual un fuente luminosa lejana al reflejarse en un espejo esférico convexo aparece como un punto luminoso.
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Autor: José Luis Abreu León