Auxiliares

Se llaman auxiliares a las constantes, variables, vectores (listas de variables), funciones, sucesiones, algoritmos y eventos que el autor de una escena de Descartes puede definir y utilizar. Los auxiliares de una escena pueden editarse usando el panel de configuración de auxiliares, al que se accede seleccionando "Auxiliares" en la ventana de edición.

A la izquierda aparece la lista de todos los auxiliares de la escena (en el ejemplo sólo aparece la constante pi). A la derecha aparece un panel, diferente para cada tipo de auxiliar, en el que se pueden editar todos los parámetros que definien al auxiliar seleccionado en la lista. Más adelante se muestran y explican los diversos paneles.

Nota: Si se hace un clic sobre la etiqueta azul de Auxiliares, aparecerá una ventana con un área de texto que contiene el código de todos los auxiliares, uno en cada línea. Este texto se puede editar manualmente y pulsando aceptar se actualiza el editor con los cambios realizados. Los autores experimentados pueden encontrar este método de edición muy cómodo y útil para cierto tipo de modificaciones.

Para crear un auxiliar nuevo hay que pulsar el botón + que se encuentra arriba a la izquierda de la lista. Al pulsarlo aparece una ventana de diálogo con un selector y un campo de texto. El selector sirve para elegir el tipo de auxiliar que se desea definir. Las opciones son: variable, constante, vector, función, sucesión, algoritmo y evento (ver la figura).

Una vez elegido el tipo de auxiliar deseado el usuario debe escribir en el campo de texto el nombre del auxiliar que servirá de referencia para usarse en otros auxiliares, en los gráficos o en la animación. El programa ofrece al autor un nombre por defecto que consta de una letra: v (variable), c (constante), V (vector), f (función), S (sucesión), a (algoritmo) o e (evento) según el tipo del auxiliar, seguida de un número que corresponde a la posición del nuevo auxiliares en la lista. Se recomienda al autor no utilizar los nombres por defecto sino asignar nombres adecuados al contenido de la escena y al significado del auxiliar. El ejemplo siguiente corresponde a una nueva variable a la que se le ha dado el nombre ángulo.

El resto de esta página se dedica a explicar en detalle el funcionamiento y los paneles de configuración de cada tipo de auxiliar.

Las variables son los auxiliares más flexibles. Su valor puede ser cualquier expresión definida en términos de los parámetros de los controles, de otros auxiliares que aparezcan antes en la lista o de x e y.

Las variables se evalúan cada vez que se utilizan, esto es lo que las hace tan útiles. Por ejemplo, si se define una variable como R=raíz(x^2+y^2) y se define una gráfica de tipo ecuación con la expresión R=2, entonces se obtiene la gráfica de la circunferencia de radio 2. En otras palabras, las variables pueden utilizarse como abreviaturas de expresiones más o menos complejas.

Si se activa el selector editable entonces en la parte baja de la escena aparece un campo de texto que permite al usuario modificar la expresión que define a la variable. Para que el programa adopte esta expresión es necesario que el usuario pulse intro en el campo de texto. Puede verse un ejemplo de aplicación de esta propiedad en mates/ecdif/ecdif.htm.

Las variables también pueden utilizarse como constantes pero no es recomendable hacerlo porque ello puede ralentizar el funcionamiento de la escena. En principio las variables deben utilizarse únicamente cuando dependen de x o y. En cualquier otro caso es preferible utilizar constantes (de las que se evalúan siempre).

Las constantes son los auxiliares utilizados con mayor frecuencia. El valor de una constante puede definirse como una expresión cualquiera en términos de los identificadores de los controles y de otras constantes que aparezcan antes en la lista, pero no en términos de x e y.

1) las que se evalúan "una sola vez", que podrían llamarse constantes absolutas, y

2) las que se evalúan "siempre", es decir, cada vez que se toca un pulsador, se mueve un control gráfico o se va a dar un nuevo paso en la animación.

Las constantes que se evalúan siempre y las variables que no dependen de x o y son muy semejantes en apariencia, y de hecho pueden utilizarse en las mismas circunstancias, pero en tales casos siempre es preferible utilizar constantes. La razón es que las constantes que se evalúan siempre en realidad se evalúan solamente cuando hay un cambio en la escena, en cambio las variables, si aparecen en la definición de un gráfico, se tienen que evaluar muchas veces en cada cambio de la escena, lo cual pueden llegar a ralentizar la respuesta del programa.

Un vector es una lista de constantes. Un vector tiene un identificador y un tamaño, que es su longitud o número de elementos. El ejemplo de la figura siguiente corresponde a un vector con identificador vect y de tamaño 3.

La manera de hacer referencia a un elemento de un vector es escribir el identificador del vector seguido del número del elemento entre corchetes. Los elementos de un vector se numeran siempre comenzando por 0.

El área de texto expresión que aparece en el panel de configuración de un vector sirve para asignar valores a (o inicializar ) los elementos del vector. No es necesario utilizar el área de texto, también se puede utilizar un algoritmo para inicializar un vector. En particular cuando un vector tiene muchos elementos la manera más conveniente de inicializarlos puede ser utilizando un algoritmo.

El autor puede decidir si la la expresión que se usa para inicializar los valores de un vector se realiza una sola vez o siempre (es decir cada vez que hay un cambio en la escena) seleccionado el valor correspondiente en el selector evaluar.

El contenido por defecto del área de texto expresión es el que muestra la imagen, asignando cero a los tres elementos del vector.

Las funciones asignan un número real a cada valor de su variable (o a cada conjunto de valores de sus variables). Las funciones tienen un identificador (o nombre), una o más variables (que no son más que una lista de identificadores) y una expresión en términos de esas variables.

Estos son ejemplos de funciones de una variable con sus identificadores y sus variables:

expresión	identificador	variable
*f(x)=sen(3x+2)**	f	x
*g(y)=Aexp(-(y^2)/(s^2))**	g	y
*Area(radio)=(piradio^2)/2**	radio	radio

Estos son ejemplos de funciones de dos o más variables con sus identificadores y sus variables:

expresión	identificador	variables
f(x,y)=raíz(x^2+y^2)	f	x,y
Fun(x,y,z)	Fun	x,y,z
*Volumen(a,b,c)=4piabc/3*	Volumen	a,b,c

Los nombres específicos de las variables de una función no son importantes, sólo sirven para identificar las variables dentro de la expresión y asignarles allí un papel.

Las funciones se evalúan solamente cuando son llamadas explícitamente (por ejemplo por un algoritmo, por un gráfico, por la animación o por la constricción de un control gráfico que se mueve).

El campo donde aparece el identificador de la función (a la izquierda del signo = ) debe incluir los identificadores de las variables entre paréntesis y separados por comas, para dar sentido a la expresión que aparece al lado derecho. La expresión que aparece a la derecha del signo = puede ser o incluir un término condicional, por ejemplo

es la función que vale 0 para x<0 y 1 para x>=0. Una expresión booleana vale 1 cuando es verdadera y 0 cuando es falsa por lo cual la función anterior también podría escribirse como

Al final de esta página se ofrece una lista de todas las funciones matemáticas y los operadores que reconoce el analizador de expresiones de Descartes, aparte de las que se definen explícitamente en cada escena. Estas funciones y operadores pueden usarse en cualquier sitio donde Descartes espera una expresión, incluyendo el campo de texto de un control numérico.

El dominio puede ser una expresión booleana en términos de las variables de la función. El programa utiliza el dominio para decidir si intenta evaluar la función. Si en un punto la expresión del dominio no se cumple, la evaluación no se intenta y el programa genera una excepción, con lo cual, si por ejemplo se está dibujando la gráfica de esta función, el dibujo que corresponde a este punto no se realiza y se pasa al siguiente punto. Cuando el campo del domino está vacío se considera que el dominio de la función no tiene restricciones, es decir, cualquier conjunto de valores de sus variables está en el dominio.

Cuando el programa intenta evaluar una función en un punto donde tiene una singularidad, se genera una interrupción, igual que si el punto no estuviera en el dominio. Por lo tanto no es necesario excluir del dominio de una función sus puntos singulares, el programa ya lo hace automáticamente. Sólo hay que especificar el dominio si se desea restringir el dominio natural de una función.

A veces no se puede definir una función solamente mediante una expresión, sino que su evaluación requiere un proceso más complicado. En estos casos el autor puede marcar algoritmo, con lo cual la evaluación de la función realiza antes el algoritmo definido en los campos de texto etiquetados con inicio, hacer y mientras (consultar Algoritmos para el significado de estos términos). En estos campos el autor puede describir el algoritmo de evaluación de la función. El siguiente ejemplo muestra cómo puede una función utilizar un algoritmo. Se trata de una función Fact(x) que calcula el factorial del mayor entero menor o igual que x, para x>=0.

El algoritmo que se define en este panel se ejecuta cada vez que se quiere evaluar la función, por lo cual los valores calculados en el algoritmo pueden utilizarse para definir el valor de la función.

Las funciones pueden tener cualquier número de variables, incluso cero. Para evaluar una función sin variables se debe escribir un par de paréntesis después de su nombre (por ejemplo func()). Las funciones sin variables pueden servir como algoritmos de cálculo que devuelven un valor real. También puede haber funciones que no devuelven ningún valor, las cuales pueden usarse como algoritmos que admiten parámetros. En el ejemplo siguiente se presenta una función de siete variables Euler(x,y,vx,vy,ax,ay,dt) llamada Euler que es en realidad una implementación del método de integración de Euler para calcular la posición de una partícula que parte de la posición (x,y) con una velocidad (vx,vy) y que se mueve con aceleración constante (ax,ay) durante un tiempo dt y mientras y>0.

Esta función puede llamarse desde cualquier otra función, desde un algoritmo o desde la animación. y al llamarla no hay que asignarla a una variable, basta escribir su nombre y los parámetros que se le pasan separados por comas.

Una sucesión es una función con dominio en los enteros (negativos y no negativos). Por tanto si se intenta evaluar con la variable distinta de un entero, da el error: "función no definida".

El panel de edición de una sucesión es idéntico al de una función y por tanto permite especificar su dominio, que siempre será un subconjunto de los números enteros, y también permite definir sus valores a través de un algoritmo.

Si S es una sucesión, entonces las ecuaciones y=S(x) y x=S(y) se dibujan sólo para valores enteros del argumento, lo cual permite dibujar gráficas de sucesiones con más facilidad que antes, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Nota: Se hizo un trabajo especial para que el programa dibuje todos los puntos de una ecuación de la forma y=S(x) cuando S es una sucesión. En realidad el programa reconoce que se trata de una sucesión y trata la ecuación de manera especial, pero esto es válido sólo si la ecuación tiene la forma explícita y=S(x), o al menos y=S(f(x)), pero no funcionará en una ecuación de la forma y=f(S(x)) donde f no es una sucesión. Por ejemplo sí funciona para y=S(raíz(x)) pero no para y=raíz(S(x)). La razón es que no es posible para el programa detectar que el dominio es discreto.

Nota: Si se desea que la sucesión sólo sea válida para enteros no negativos (números naturales)
entonces hay que definir S con dominio n>=0.

Los algoritmos constituyen un sistema sencillo para inicializar vectores y para programar procesos de cálculo más o menos complejos.

El panel tiene un campo de texto etiquetado como inicio, un área de texto etiquetada com hacer y otro campo de texto etiquetado como mientras.

En el campo inicio se puede escribir una serie de asignaciones y llamadas a otros algoritmos separadas por ; . En el área de texto hacer se puede escribir también una serie de asignaciones y llamadas a otros algoritmos separadas por ; o por un salto de línea. Para llamar a un algoritmo en el inicio o hacer de otro, basta escribir su nombre (como si fuera una asignación) y separarlo por ; en inicio o por un salto de línea en hacer. En el campo mientras se puede escribir una expresión booleana.

Un algoritmo funciona así: primero realiza las asignaciones y llamadas a otros algoritmos que se indican en inicio; luego realiza las asignaciones y llamadas a otros algoritmos indicadas en hacer y luego verifica si se cumple la condición contenida en mientras. Si la condición mientras se cumple entonces vuelve a ejecutar hacer y vuelve a verificar la condición mientras. El proceso continúa hasta que la condicón mientras deja de cumplirse o se han llegado a 10000 repeticiones (este límite es una válvula de seguridad para proteger al autor y al usuario de posibles errores que pudieran bloquear el navegador). Si la condición mientras se deja en blanco el algoritmo realiza las asignaciones en hacer una sola vez.

La estructura de los algoritmos de Descartes es en realidad un bucle de programación que corresponde al do .. while de los lenguajes C y Java y al repeat ... while de Pascal .

Para realizar una asignación condicional se puede utilizar la construcción: A?a:b donde A es una expresión booleana y a y b son los dos valores que se asignarán según se cumpla o no la condición A. Por ejemplo y=(x>0)?sen(2*pi*x):0 asigna a y el valor sen(2*pi*x) si x>0 y asigna 0 si x<=0. Esta construcción corresponde (parcialmente) al if ... else ... de los lenguajes de programación.

La combinación de bucles inicio - hacer - mientras , las asignaciones condicionales A?a:b y la posibilidad de llamar algoritmos desde otros algoritmos ofrece muchas posibilidades para la programación de procesos de cálculo relativamente complejos.

El panel de algoritmos permite decidir si éstos se evalúan una sola vez o siempre. Los algoritmos pueden servir para inicializar vectores. Los que se evalúan una sola vez se ejecutan sólo al iniciarse la escena y cuando se pulsa el botón inicio, así que sirven para inicializar vectores que permanecen constantes durante toda la interacción del usuario con la escena. Los algoritmos que se evalúan siempre, se ejecutan cada vez que hay un cambio en un control, ya sea numérico o gráfico, con lo cual sirven para evaluar vectores que dependen de los parámetros de los controles. Cuando un algoritmo se llama desde otro, se ejecuta, independientemente de si está marcado como evaluar una sola vez o siempre.

La estructura de bucles inicio - hacer - mientras de los algoritmos se utiliza también en las funciones algorítmicas y en la animación. De hecho la animación es un algoritmo especial que refresca la escena después de cada paso por hacer.

Los eventos son condiciones booleanas que cuando se cumplen pueden realizar una acción.

Los eventos tienen un nombre y una condición (expresión booleana) que cuando se cumple realizan la acción seleccionada.

mensaje	Abre una pequeña ventana con un mensaje de texto cuyo contenido es el del parámetro.. La posición de esta ventana puede determinarse con el valor de pos_mensajes que puede tomar los siguientes valores: centro, arr_izq, arriba, arr_der, izquierda, derecha, ab_izq, abajo y ab_der. El valor por defecto de pos_mensajes es centro.
calcular	Realiza los cálculos (asignaciones) indicadas en el parámetro y actualiza inmediatamente todos los controles con estos nuevos valores.
abrir URL	Abre una página Web en una ventana nueva del navegador
abrir Escena	Abre una escena de Descartes en una ventana autónoma
créditos	Abre la ventana de créditos
config	Abre la ventana de configuración
inicio	Reinicia la escena
limpiar	Borra todos los rastros dejados por los gráficos.
animar	Comienza la animación, la detiene (pausa) o la continúa.
reiniciar animación	Inicializa la animación, es decir, la devuelve a su punto inicial.

Hay tres modos de ejecución: una-sola-vez, alternar y siempre. que se explican en la siguiente tabla.

una-sola-vez	La acción sólo se ejecuta la primera vez que se cumple la condición.
alternar	En este caso la acción se ejecuta una vez cuando la condición se cumple y no se vuelve a ejecutar hasta que la condición ha dejado de ser verdadera y vuelve a ser verdadera otra vez.
siempre	Significa que la acción se ejecutará cada vez que la condición se cumpla.

Como un evento puede desencadenar una acción y una acción puede realizar cálculos, es fácil lograr que un evento realice cálculos. En la siguiente escena se define un evento con la condición "p>2", con acción calcular y con parámetro "p=0.05", de manera que cada vez que el usuario aumenta el valor de p más allá de 2, el programa lo devuelve a su valor mínimo 0.05. Si se mantiene pulsada la flecha azul del control p se verá que la parábola se va abriendo hasta que alcanza el valor p=2 y en ese momento salta el valor de p a 0.05.

En el siguiente ejemplo, si el lector pone los valores de los pulsadores en a=500, b=50 y c=15.8, se produce un evento que abre una escena Descartes confirmando que esos son los valores que dan la solución. ¡Pruébelo! y luego, en el editor de configuraciones mire cómo se definió el evento. En particular verá que la ejecución está en modo alternar, por lo cual si se elije un valor erróneo y luego vuelve a elegirse el correcto, la escena de confirmación vuelve a aparecer.

La siguiente escena ejemplifica cómo pueden aprovecharse los eventos en la enseñanza.

Las funciones matemáticas que reconoce el analizador de expresiones de Descartes, aparte de las que esté explícitamente definidas en una escena, son las siguientes:

También hay un número aleatorio con distribución uniforme en el intervalo [0,1]:

Hay varios identificadores reservados que tienen un significado especial para los espacios de una escena. Para escenas 2-D los identificadores reservados son: escala, O.x y O.y. Para espacios 3-D los identificadores reservados son: escala, observador, rot.y y rot.z. La tabla que sigue explica su significado.

escala	Es el tamaño de la escala de la escena y se expresa en pixeles. Su valor por defecto en escenas 2-D es 48.
O.x	Es la distancia horizontal del centro de la escena al origen en pixels. Los valores positivos desplazan el origen hacia la derecha. El valor por defecto es 0.
O.y	Es la distancia vertical del centro de la escena al origen en pixels. Los valores positivos desplazan el origen hacia abajo. El valor por defecto es 0.
observador	Distancia (en pixeles) aparente del origen al observador.
rot.y	Ángulo de giro (en grados) del espacio respecto al eje y a partir de la posición por defecto en la que el eje x apunta hacia el observador (ligeramente hacia abajo), el eje y hacia la derecha y el eje z hacia arriba.
rot.z	Ángulo de giro (en grados) del espacio respecto al eje z a partir de la posición por defecto en la que el eje x apunta hacia el observador (ligeramente hacia abajo), el eje y hacia la derecha y el eje z hacia arriba.

Cuando hay más de un espacio o el espacio tiene un identificador no vacío, entonces estas variables deben ir precedidas por el identificador del espacio y un punto, es decir sus nombres son: <id>.escala, <id>.O.x, <id>.O.y, <id>.observador, <id>.rot.y, <id>.rot.z, donde <id> es el identificador del espacio.