La hipérbola se puede obtener al cortar un cono con un plano que forme con el plano horizontal un ángulo mayor al de la generatriz del cono, como se muestra en la siguiente figura:
Corte de un cono para obtener una hipérbola
También podemos definirla como el
lugar geométrico de los puntos P tales que la
diferencia de las distancias de P a dos puntos
fijos F1
y F2
es constante.
Los puntos F1
y F2
se llaman focos de la hipérbola.
Así, la hipérbola es el conjunto de puntos P que satisfacen:
| d(P,F) - d(P,l) |=2a
Otros elementos importantes de la hipérbola son:
Veamos la siguiente figura:
Elementos de la hipérbola
Consideremos una hipérbola
y un punto P de ella.
Tracemos la recta tangente a la hipérbola en el punto P.
Veamos la siguiente figura:
Propiedad óptica de la hipérbola
Tracemos las rectas que unen a P con cada uno de los focos F1 y F2 de la hipérbola.
Entonces, la tangente en P forma ángulos iguales con F1P y con F2P.
Giremos ahora la hipérbola en torno a su eje de simetría, de esta manera obtenemos una superficie llamada hiperboloide.
Si un rayo que se dirige a uno de los focos choca contra su superficie, debido a la propiedad de la tangente, se refleja hacia el otro foco, e inversamente..
Esta propiedad tiene aplicaciones, como en la fabricación de los telescopios de reflexión en los que se combinan un espejo parabólico y uno hiperbólico (véase la figura siguiente).
Esquema de un telescopio parabólico-hiperbólico
Si deseas conocer más sobre este tema oprime aquí.
Otra de las aplicaciones recientes de la hipérbola es el de los sistemas de navegación, como LORAN (Long Range) y el GPS (Sistema de posicionamiento global)
En el sistema de navegación LORAN, dos estaciones de radio que se encuentran en una costa emiten una señal simultáneamente. Un receptor en barco en alta mar recibe las señales y puede evaluar la diferencia de tiempo en que las recibe. Si el barco se mueve de manera que esta diferencia permanezca constante, estará siguiendo una trayectoria hiperbólica cuyos focos son las estaciones de radio. Veamos la siguiente figura:
Sistema de navegación LORAN
El Sistema de Posicionamiento Global consiste en una serie de satélites de órbita baja que continuamente emiten señales indicando su posición y la hora que es. Si un receptor se encuentra en tierra y recibe la señal de tres o más satélites, puede calcular su posición como la intersección de hiperboloides y la superficie de la tierra.
Para conocer más sobre estas aplicaciones, oprime aquí.
Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas. Para conocer más sobre esta aplicación oprime aquí.
Bibliografía: Oteyza, Lam, Gómez, Ramírez, Hernández, "Geometría Analítica" , Prentice Hall Hispanoamericana S.A.