1  Forma polar de las cónicas

1.1  La excentricidad

La excentricidad es una propiedad que comparten todas las cónicas y su valor determina el tipo de cónica de que se trata.

Demos una recta l, que llamaremos directriz y un punto F, que llamaremos foco.

Busquemos el lugar geométrico de los puntos P( x,y) cuya distancia al foco es e veces su distancia a la directriz, es decir,

d(P,F)=e d(P,l)

(1)

donde e es un número positivo.

Coloquemos el foco en F( c,0) , consideremos la directriz x=k  y P( x,y) un punto del lugar geométrico buscado.

Entonces

d(P,F) =e d(P,l) Ö   ( x-c) 2+y2   =e| x-k| .

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación,

( x-c) 2+y2=e2( x2-2kx+k2) .

Simplificando tenemos:

( 1-e2) x2+y2+( -2c+2ke2) x-e2k2+c2=0.

(2)

• Si e=1.

  La ecuación (2) se reduce a

  
  

  y2+( -2c+2k) x-k2+c2=0.

  Veamos cómo es el discriminante

  
  

  B2-4AC=0-4( 0) ( 1) = 0

  Entonces es una parábola.

• Veamos ahora el caso e ¹ 1.

  Regresando a la ecuación (2),

  
  

  ( 1-e2) x2+( -2c+2ke2) x+y2-e2k2+c2=0

  (3)

  Esta es una ecuación de segundo grado en x e y, por lo que podría ser una cónica. Tratemos de colocarla de manera que su centro esté en el origen, por lo que el coeficiente de x debe ser cero, esto es,

  
  

  -2c+2ke2=0,

  es decir,

  
  

  k= c e2 .

  Sustituyendo el valor de k en (3) obtenemos

  
  

  ( 1-e2) x2+y2-e2 æ ç è c e2 ö ÷ ø 2   +c2 =0 ( 1-e2) x2+y2- c2 e2 +c2 =0 ( 1-e2) x2+y2-c2 æ ç è 1 e2 -1 ö ÷ ø =0 ( 1-e2) x2+y2 =c2 æ ç è 1-e2 e2 ö ÷ ø ,

  dividiendo por el término independiente

  
  

  x2 c2 e2 + y2 c2 e2 (1-e2) =1.

  (4)

  Aquí tenemos dos casos:

  • Si e < 1, entonces e² < 1, de donde 1-e² > 0. En este caso el denominador de y² es positivo, así que tenemos una elipse, en la que el radio mayor es

    
    

    a= c e

    y el radio menor es

    
    

    b= c  Ö 1-e2 e .

  • Si e > 1, entonces e² > 1, de donde 1-e² < 0. Podemos reescribir (4) para que el denominador de y² sea positivo:

    
    

    x2 c2 e2 - y2 c2 e2 (e2-1) =1

    (5)

    y obtenemos ahora la ecuación de una hipérbola en la que

    
    

    a= c e

    y

    
    

    b= c Ö e2-1 e .

Notemos ahora que tanto en la elipse como en la hipérbola obtuvimos que

e= c a .

En resumen,

• Si e=1, es una parábola.
• Si e < 1, es una elipse.
• Si e > 1, es una hipérbola.

Observación:

En el caso e=0 se tiene c=0 y esto significa que los dos focos están en el mismo lugar, y por tanto, tenemos un círculo.

1.2  Cónicas horizontales con foco en el origen

En este caso el foco F( 0,0) es el origen y la directriz l es una recta vertical. Analicemos el caso en que l está a la derecha del foco, es decir, su ecuación es x=k, siendo k > 0.

Si P( x,y) es un punto de la cónica, entonces

d( P,l) = | x-k| ,

(6)

si ( r,q) son las coordenadas polares de P, sustituimos x de acuerdo a

x=rcosq                y=r senq

en (6) y obtenemos

d( P,l) = | rcosq-k| .

(7)

Por otro lado, como el foco está en el origen, la distancia de P a F es

d( P,F) = r,

sustituimos estas dos últimas expresiones en (1) llegando a

r=e | rcosq-k| ,

si la expresión dentro del valor absoluto es positiva, entonces

r=ercosq-ek

y despejando r obtenemos

r= -ek 1-ecosq .

(8)

Si la expresión dentro del valor absoluto en (7) es negativa, tenemos

r=-ercosq+ek,

es decir,

r= ek 1+ecosq .

(9)

Las ecuaciones (8) y (9) son equivalentes, ya que si ( r,q) satisface la ecuación (8), multiplicando por ( -1) ambos lados de la ecuación obtenemos

-r= ek 1-ecosq

y recordando que cos( q+p) = -cosq, tenemos

-r= ek 1+ecos( q+p) ,

es decir, el punto ( -r,( q+p) ) satisface (9) pero ( r,q) y ( -r,(q+p) ) representan al mismo punto en el plano.

De la misma manera se puede ver que si ( r,q) satisface (9), entonces ( -r,( q+p) ) satisface (8). Así que basta considerar sólo una de las ecuaciones anteriores para describir la cónica.

La ecuación

r= ek 1+ecosq ,

(10)

es la ecuación polar de una cónica horizontal con foco en el origen y excentricidad e.

Se procede de modo similar cuando la directriz está a la izquierda de F.

1.3  Cónicas verticales con foco en el origen

Nuevamente el foco F( 0,0) es el origen, pero ahora la directriz l es una recta horizontal. Supongamos que l está arriba del foco, o sea,  y=k, siendo k > 0. El argumento es muy similar al anterior.

Si P( x,y) es un punto de la cónica, entonces

d( P,l) = | y-k| ,

(11)

si ( r,q) son las coordenadas polares de P, sustituimos y de acuerdo a

x=rcosq                y=r senq

en (11) y obtenemos ahora

d( P,l) = | r senq-k|.

Por otro lado, como el foco es el origen, la distancia de P a F es

d( P,F) = r,

sustituimos estas dos últimas expresiones en (1) llegando a

r=e | r senq-k| .

De manera similar al caso anterior, obtenemos

r=±( r senq-k) e,

de donde

r= -ek 1-e senq

(12)

o

r= ek 1+e senq .

(13)

De la misma manera como se hizo con las cónicas con directriz vertical, se puede ver que las ecuaciones (12) y (13) son equivalentes y basta considerar cualquiera de ellas.