Recordatorio

En la unidad anterior definimos el límite de una función como sigue:

Sea \(f(x)\) una función definida en un intervalo abierto al rededor de \(x_0\). Decimos que \(f(x)\) se aproxima al límite \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\) y lo escribimos como

\[ lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=L\]

si, para todo número \(\varepsilon>0\), existe un número correspondiente \(\delta>0\) tal que para toda \(x\)

\[0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \]

Sin embargo esto no necesariamente se cumple para las funciones que no son contínuas, o al menos no en los puntos donde la función tiene una discontinuidad. Recordemos la definición de función contínua. Una función \(f(x)\) es continua en \(x=c\) si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes:

1. c está en el dominio de la función, es decir \(f(c)\) existe.
2. \(f\) tiene límite cuando \( x\rightarrow{c}\), es decir \( lim_{x\rightarrow{c}}f(x)\) existe.
3. el límite iguala al valor de la función en \(c\), es decir \( lim_{x\rightarrow{c}}f(x)=f(c)\)

Y esto nos dice cuándo una función no es contínua en \(x=c\):

1. si c no está en el dominio de la función, es decir \(f(c)\) no existe, o
2. \(f\) no tiene límite cuando \( x\rightarrow{c}\), es decir \( lim_{x\rightarrow{c}}f(x)\) no existe, o
3. el límite no iguala al valor de la función en \(c\), es decir \( lim_{x\rightarrow{c}}f(x)\neq f(c)\).

Lo cual también nos dice qué tipo de discontinuidades puede tener una función.

En la siguiente escena puedes ver ejemplos de funciones que cumplen alguna de las tres características anteriores, las cuales nos indican qué tipo de discontinuidad puede tener una función.

El último ejemplo nos lleva a la definición de uno de los casos en los que una función no tiene límite.

Teorema

Una función \(f(x)\) tiene límite cuando \(x\) tiende a \(c\) si y sólo si tiene límite por la izquierda y límite por la derecha en \(c\), y estos límites son iguales: \[ lim_{x\rightarrow{c}}f(x)=L \ \ \Leftrightarrow \ \ lim_{x\rightarrow{c^{-}}}f(x)=L=lim_{x\rightarrow{c^{+}}}f(x) \]

Definición

Límite por la derecha
Decimos que \(f(x)\) tiene límite \(L\) por la derecha en \(x_0\), es decir \(lim_{x\rightarrow{c^{+}}}f(x)=L\),

si, para todo número \(\varepsilon>0\), existe un número correspondiente \(\delta>0\) tal que para toda \(x\)

\[ x_0 < x < x_0+\delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon \]

Límite por la izquierda
Decimos que \(f(x)\) tiene límite \(L\) por la izquierda en \(x_0\), es decir \(lim_{x\rightarrow{c^{-}}}f(x)=L\),

si, para todo número \(\varepsilon>0\), existe un número correspondiente \(\delta>0\) tal que para toda \(x\)

\[ x_0-\delta < x < x_0 \Rightarrow |f(x)-L|< \varepsilon \]

Diagrama de la definición de límite por la derecha y de límite por la izquierda.