Usando el conteo en binario para entender mejor

Se enfatizó varias veces en la parte de Inicio que cuando se agotan los símbolos para el primer dígito, se abre un segundo a la izquierda y así sucesivamente. También se enfatizó que cuando se agotan los símbolos de un dígito (o combinaciones de símbolos si hay más dígitos) en binario, ello coincide con haber contado \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), etc. elementos, empezando a contar con el cero. Es decir, corresponde con haber contado \(2^1\), \(2^2\), \(2^3\), \(2^4\), etc. elementos. Sin embargo, si dejamos el cero como ausencia de elemento y empezamos a contar a partir del 1 en binario, hay que ajustar las reglas de conteo.

Así:

• Cuando el primer dígito es 1, sólo se ha contado un elemento pues el cero se usó para la ausencia de elementos.
• Cuando el segundo dígito es 1 y el primero cero, se han contado \(2^1=2\) elementos: el 1 y el 10.
• Cuando el tercer dígito es 1 y el primero y segundo son cero, se han contado \(2^2=4\) elementos: el 1, el 10, el 11 y el 100.
• Y así sucesivamente.

De tal forma que parece que, si se tiene un n-ésimo dígito con un 1, esto corresponderá a haber contado \(2^{n-1}\) elementos. Así, es necesario ir sumando las contribuciones de cada dígito con valor de 1. Si el dígito en cuestión tiene el símbolo 0 en vez de 1, quiere decir que no dará contribución al conteo. Otra forma de decirlo es que no sumará nada al conteo total. El conteo total al final estará dado en decimal, por lo que todo esto consiste en convertir un número binario en decimal.

En el siguiente interactivo podrás practicar convirtiendo números en binario a números en notación decimal. Al principio del interactivo se presenta una pantalla con información de cómo usar el interactivo. Revísala con calma antes de empezar.

Los números binarios que transformaste son una cadena de unos y ceros. Cuando elegiste un dígito en particular y lo convertiste, sólo obtuviste la contribución de ese dígito (ignorando todos los demás) al valor del número pero en notación decimal. Es decir, el número que obtienes en decimal es el correspondiente al binario en que sólo consideras ese dígito, con todos los demás dígitos con un valor de cero.

Habrás notado que puedes abordar los dígitos en el orden que quieras. Ello se debe a que cada dígito brinda una contribución a la suma. El orden en que hiciste clic en los dígitos determina el orden en que aparecen las contribuciones a la suma (los sumandos). Como la suma es conmutativa, el orden no importa. Sin embargo, es útil mantener un orden cuando se hace la conversión de binario a decimal. El sugerido es empezar por el dígito del extremo derecho e ir hacia la izquierda. Así es más fácil recordar que, cada vez que se avanza un dígito, el exponente del \(2\) aumenta en una unidad.

Más aún, nota que los dígitos que tengan 0 como símbolo pueden ser ignorados directamente debido a que no contribuirán al valor de la representación decimal. Así, sólo tendrás que enfocarte en aquellos dígitos con símbolo de 1.

Observa también que hasta ahora has contado el dígito en cuestión de derecha a izquierda y comenzando con la unidad. Para determinar el valor del exponente, le restas 1 al número de dígito. Este corresponde a contar de derecha a izquierda, pero empezando en cero en lugar de uno. Esto te permite facilitar un poco la fórmula.

En esta parte que aborda la conversión de binario a decimal, cada dígito puede tener ya sea 0 o 1. Si tiene 0 es que no hay contribución por parte de ese dígito a la suma que dará el valor en decimal correspondiente al número binario. Si vale 1, sí habrá contribución. Esto sólo sucede en el caso particular del binario (en que los dígitos, o bien contribuyen o no lo hacen). No obstante, como verás en el caso de los números hexadecimales, esto cambia para bases mayores.