Descripción

El baricentro

Los triángulos tienen propiedades sorprendentes. En esta primera actividad veremos una de ellas:

Los segmentos que unen los vértices de un triángulo
con los puntos medios de sus lados opuestos son concurrentes.

Este reto consiste en crear una construcción interactiva que presente un triángulo, los puntos medios de sus lados, los segmentos que unen esos puntos medios con los vértices opuestos a ellos y el punto en que esos tres segmentos concurren.

Los segmentos que unen los vértices de un triángulo con los puntos medios de los lados opuestos, se llaman medianas. El punto en que las medianas concurren se llama el baricentro del triángulo. Con estos nombres es más fácil describir la propiedad de los triángulos que esta actividad ilustra:

Las medianas un triángulo pasan por un punto llamado baricentro.

Una propiedad interesante del baricentro de un triángulo es que es su centro de masa, o sea, su punto de equilibrio. Si tuviéramos un triángulo de madera o de plástico y colocáramos la punta de un lápiz exactamente bajo su baricentro, el triángulo quedaría equilibrado.

Ejemplo interactivo

He aquí una versión funcional de la construcción que debes hacer. La construcción comienza con tres puntos libres A, B, C (los pequeños circulitos) que son los vértices del triángulo. Luego se trazaron los segmentos AB, BC, CA que son los lados del triángulo. Luego se trazaron los puntos medios de los lados opuestos a esos vértices y se les dieron los nombres L, M, N, respectivamente. Finalmente se trazaron las medianas AL, BM, CN y su intersección X.

Utiliza la construcción moviendo los vértices del triángulo para comprobar que para cualquier triángulo es cierto que las medianas siempre pasan por un mismo punto, que es el baricentro X.

Tu reto consiste en realizar esta misma construcción en el programa ProGeo3D. Trata de hacerlo de manera que le des un toque personal usando tus colores preferidos para que con solo verla puedas saber que es la que tú hiciste.

Realiza tu construcción aquí:

Documentación:descartes.matem.unam.mx/doc/pg3d/

¿Qué te conviene saber?

Para realizar esta actividad conviene que aprendas a trazar puntos libres, segmentos, puntos medios e intersecciones en el programa ProGeo3D. Afortunadamente todo esto es muy fácil pues el programa tiene opciones para hacer cada una de estas cosas usando el ratón.

• Para trazar puntos libres, primero hay que seleccionar la herramienta Punto/Recta con un clic en el botón correspondiente del menú de la derecha. Luego basta hacer clic en el área de dibujo en los tres sitios donde desees colocar tus tres puntos libres.
• Observa que todos los trazos se pueden hacer con diferentes colores y distintos grosores, los cuales se pueden seleccionar en el menú inferior antes de realizar el trazo.
• Para trazar segmentos, primero hay que seleccionar la herramienta Segmento con un clic en el botón correspondiente del menú. Luego hay que apretar el botón izquierdo del ratón sobre uno de los puntos libres y arrastrarlo hasta colocar el cursor sobre otro punto y soltar allí. El programa dibuará el segmento que une a esos dos puntos.
• Para trazar el punto medio de un segmento hay que seleccionar la herramienta Punto medio con un clic en el botón correspondiente del menú. Luego hay que arrastrar desde un extremo del segmento al otro, igual que si se estuviera dibujando el segmento, pero esta vez el programa dibujará el punto medio en lugar del segmento.
• Para trazar un punto de intersección de dos segmentos o rectas hay que seleccionar la herramienta Intersección con un clic en el botón correspondiente del menú. Luego basta hacer un clic sobre el punto donde se intersectan los dos segmentos o rectas. También se puede arrastrar uno de los segmentos o rectas al otro.
• Para poner nombres a los puntos hay que seleccionar la herramienta de selección y exploración que se encuentra al centro de la franja inferior de la zona de dibujo. Luego hay que seleccionar el punto al que se le quiere dar nombre y hacer un clic en el cuadrito nombre que está en el menú inferior. Eso hará que aparezca un teclado con el que se puede escribir el nombre deseado, que generalmente es sólo una letra mayúscula. Finalmente hay que pulsar el botón de aceptar ↵ del teclado. Con eso se apagará el teclado y el nombre aparecerá en su lugar.

Aunque el triángulo mismo no es necesario trazarlo, seguramente te gustará dar a la construcción un toque personal dibujando el triángulo en tu color favorito. Para ello debes saber cómo se traza un triángulo.

• Para trazar un triángulo hay que seleccionar la herramienta Triángulo o Plano haciendo un clic en el botón correspondiente del menú de la derecha. Luego hay que hacer un clic sobre uno de los vértices y finalmente hay que arrastrar el cursor desde el segundo vértice hasta el tercero.

Si deseas aprender más cosas acerca del funcionamiento del programa ProGeo3D puedes hacerlo leyendo su Documentación en:

descartes.matem.unam.mx/doc/pg3d/

Sugerencias para la construcción

Es conveniente hacer la construcción comenzando por los vértices, siguiendo con los segmentos, luego los puntos medios, luego las medianas y finalmente su punto de intersección. Para mover los puntos libres es necesario no tener seleccionada ninguna de las herramientas de construcción, es decir, que no haya ningún botón seleccionado en el menú de la derecha. Esto se logra haciendo clic sobre el botón seleccionado o bien sobre la flechita con un punto que se encuentra al centro en la parte de abajo del área de dibujo.

Si después de intentarlo bastante tiempo no haz logrado terminar la construcción y hacerla funcionar correctamente o si quieres compararla con la a versión que aparece como muestra, haz clic en el siguiente botón: Mostrar código y estudia cómo se hizo la construcción pulsando los botonoes de Deshacer y Rehacer que se encuentran abajo a la derecha.

Conceptos matemáticos y computacionales

La propiedad del baricentro es tan solo una de las muchas propiedades similares de los triángulos. Este tipo de propiedades se llaman rectas y puntos notables de los triángulos. Mas adelante verás que no sólo las medianas sino también las alturas, las mediatrices y las bisectrices de un triángulo son convergentes.

La secuencia de pasos de una construcción geométrica como ésta es un ejemplo muy sencillo de un programa computacional. Las construcciones geométricas que se realizan con un programa de Geometría Dinámica, como ProGeo3D, son secuencias de instrucciones que se transmiten a la computadora (es decir, se programan) mediante clics y arrastres del ratón. El programa de geometría dinámica interpreta esas instrucciones como pasos de la construcción, las guarda y las ejecuta en el orden en que fueron realizados para hacer el dibujo de la construcción y cambia los detalles cada vez que se mueven los puntos libres, que desde el punto de vista de la programación, constituyen los controles del programa con los que el usuario puede manipularlo.

Una construcción geométrica como ésta es un programa interactivo porque el usuario puede arrastrar con el ratón los puntos de control para generar diversas vistas de lo que se ha construido.

En resumen, un programa de geometría dinámica es a la vez el editor de las construcciones (que son programas sencillos) y el intérprete de las construcciones como programas interactivos, ya que responde a las acciones del usuario del programa cuando éste arrastra los puntos de control.