Descripción

La circunferencia que pasa por tres puntos

¿Cómo se puede construir una circunferencia que pase por tres puntos dados? Éste es el reto con el que te vas a enfrentar.

El reto consiste en realizar una construcción interactiva a partir de tres puntos libres A , B, C que permita encontrar el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos. Ese punto se llama el circuncentro del triángulo ABC.

Ejemplo interactivo

He aquí una versión funcional de la construcción que debes hacer. La construcción comienza con los tres puntos libres A, B, C (los pequeños circulitos) que podrías suponer son los vértices de un triángulo que no está dibujado. ¿Cómo se podría encontrar el centro del círculo deseado? Ése es el reto.

Utiliza la construcción moviendo los puntos A, B, C para comprobar que la circunferencia roja siempre pasa por los tres puntos. ¿Cómo se ha logrado esto?

Tu reto consiste en realizar una construcción en el programa ProGeo3D y esconderla para lograr el mismo efecto que se observa en el ejemplo interactivo.

Realiza tu construcción aquí:

Documentación:descartes.matem.unam.mx/doc/pg3d/

¿Qué te conviene saber?

Para enfrentar esta actividad ya deberías al menos saber trazar puntos libres e intersecciones, lo cual debiste haber aprendido en la actividad anterior sobre el baricentro. Pero además debes saber qué son las mediatrices y cómo trazarlas.

• La mediatriz de un par de puntos es la recta que consta de todos los puntos que están a la misma distancia de los dos puntos.
• Para trazar la mediatriz de un par de puntos, primero hay que seleccionar la herramienta Mediatriz con un clic en el botón correspondiente del menú. Luego hay que apretar el botón izquierdo del ratón sobre uno de los puntos y arrastrarlo hasta colocar el cursor sobre otro punto y soltar allí. El programa dibujará la mediatriz de esos dos puntos.
• Fíjate que si tienes tres puntos A, B, C, todos los puntos de la mediatriz de A y B distan lo mismo de A que de B y todos los puntos de la mediatriz de B y C distan lo mismo de B que de C. Por lo tanto, el punto de intersección de esas dos mediatrices debe estar a la misma distancia de los tres puntos A, B, C y es el centro de la circunferencia deseada.
• Para trazar una circunferencia hay que seleccionar la herramienta Círculo haciendo clic en el botón correspondiente del menú. Luego hay que arrastrar el cursor del ratón desde el centro de la circunferenca hasta un punto por el que debe pasar.
• Para ocultar parte de una construcción, se recomienda hacer esa parte en un color diferente de los que se usan para la parte que no se desea ocultar. Todo lo que está en ese otro color dejará de dibujarse si el color se oculta haciendo clic sobre ese color cuando ya está seleccionado.

Si deseas aprender más cosas acerca del funcionamiento del programa ProGeo3D puedes hacerlo leyendo su Documentación en:

descartes.matem.unam.mx/doc/pg3d/

Sugerencias para la construcción

Recuerda que para mover los puntos libres es necesario no tener seleccionada ninguna de las herramientas de construcción, es decir, que no haya ningún botón seleccionado en el menú de la derecha. Esto se logra haciendo clic sobre el botón seleccionado o bien sobre la flechita con un punto que se encuentra al centro en la parte de abajo del área de dibujo.

Si después de intentarlo un tiempo razonable no haz logrado terminar la construcción y hacerla funcionar correctamente o si quieres compararla con la versión que aparece como muestra, haz clic en el siguiente botón: Mostrar código y estudia cómo se hizo la construcción pulsando los botones de Deshacer y Rehacer que se encuentran a la derecha del menú inferior. Primero que nada, haz clic sobre el color que aparecerá desactivado para que veas la parte de la construcción que está oculta.

Conceptos matemáticos y computacionales

La propiedad de las mediatrices de estar a la misma distancia de los dos puntos con que se definen hace que las tres mediatrices de un triángulo sean concurrentes. El punto en el que coinciden se llama el circuncentro del triángulo y esto constituye otro ejemplo de las rectas y puntos notables de los triángulos. En la siguiente actividad se estuduarán las alturas de un triángulo y el punto en el que concurren que se llama el ortocentro.

La secuencia de pasos de una construcción geométrica como ésta es un ejemplo muy sencillo de un programa computacional. Las construcciones geométricas que se realizan con un programa de Geometría Dinámica, como ProGeo3D, son secuencias de instrucciones que se transmiten a la computadora (es decir, se programan) mediante clics y arrastres del ratón. El programa de geometría dinámica interpreta esas instrucciones como pasos de la construcción, las guarda y las ejecuta en el orden en que fueron realizados para hacer el dibujo de la construcción y cambia los detalles cada vez que se mueven los puntos libres, que desde el punto de vista de la programación, constituyen los controles del programa con los que el usuario puede manipularlo.

Una construcción geométrica como ésta es un programa interactivo porque el usuario puede arrastrar con el ratón los puntos de control para generar diversas vistas de lo que se ha construido.

En resumen, un programa de geometría dinámica es a la vez el editor de las construcciones (que son programas sencillos) y el intérprete de las construcciones como programas interactivos, ya que responde a las acciones del usuario del programa cuando éste arrastra los puntos de control.