Descripción
La circunferencia de los 9 puntos es tangente a las circunferencias inscritas
Este reto consiste en ampliar el anterior en el que se construyó la circunferencia de los 9 puntos para un triángulo, construyendo además las circunferencias inscritas, tanto la interna como las externes y comprobar que todas ellas son tangentes a la de los 9 puntos. Por tanto, en realidad la circunferencia de los 9 puntos pasa por 14 puntos singulares, siendo los otros 4 sus puntos de tangencia con las circunferencias inscritas.
Ejemplo interactivo
He aquí una versión funcional de esta construcción. Úsala arrastrando los puntos de control (es decir, los pequeños circulitos que están en los vértices del triángulo).
En esta construcción se escondió el andamiaje, es decir, todos los elementos que se usaron para llegar al resultado. La idea es que el estudiante construya el andamiaje que lo lleve al resultado deseado, pero si verlo.
Tu reto consiste en realizar esta misma construcción en el programa ProGeo3D. Trata de hacerlo de manera que le des un toque personal para que con solo verla puedas saber que es la que tú hiciste.
Realiza tu construcción aquí.
¿Qué te conviene saber?
Para realizar esta actividad, te conviene conocer:
- Qué son las mediatrices de un triángulo y cómo trazarlas en ProGeo3D;
- Que las mediatrices de un triángulo son concurrentes y su punto de intersección se llama circuncentro;
- Qué son las alturas de un triángulo y cómo trazarlas en ProGeo3D;
- Que las alturas de un triángulo son concurrentes y su punto de intersección se llama ortocentro;
- Que el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro es el centro de la circunferencia de los nueve puntos y por cuáles puntos pasa dicha cirunferencia;
- Qué son las bisectrices de un triángulo, tanto las interiores como las exteriores y cómo trazarlas en ProGeo3D;
- Que las bisectrices interiores de un triángulo son concurrentes y su punto de intersección se llama incentro;
- Que las bisectrices interiores son concurrentes y el punto en que se intersectan es el incentro, y la circunferencia con centro en el incentro que pasa por su proyección sobre cualquiera de los lados del triángulo es tangente a los tres lados y se llama la circunferencia inscrita interior;
- Que las bisectrices exteriores se intersectan en los centros de los círculos inscritos exteriores y cómo trazar dichos círculos.
Sugerencias para la construcción
Todos los conceptos matemáticos que aparecen en esta actividad ya habían aparecido en las actividades anteriores. Lo nuevo consiste en ver cómo se relacionan las circunferencias inscritas con la de los 9 puntos. A estas alturas se espera que puedas realizar esta complicada construcción por tí mismo, con paciencia y dedicación.
Si después de intentarlo bastante tiempo no haz logrado terminar la construcción y hacerla funcionar correctamente o si quieres compararla con la a versión que aparece como muestra, haz clic en el siguiente botón:
Conceptos matemáticos y computacionales
La secuencia de pasos de una construcción geométrica como ésta es un ejemplo muy simple de un programa computacional. Las construcciones geométricas que se realizan con un programa de Geometría Dinámica, como ProGeo3D, son secuencias de instrucciones que se transmiten a la computadora mediante clics y movimientos del ratón. El programa de geometría dinámica interpreta esos clics y movimientos como pasos de la construcción, los guarda y los ejecuta en orden para poder así hacer el dibujo de la construcción.
Una construcción geométrica como ésta es un programa interactivo porque el usuario puede arrastrar con el ratón los puntos de control para generar diversas vistas de lo que se ha construido.
En resumen, un programa de geometría dinámica es a la vez el editor de las construcciones (que son programas sencillos) y el intérprete de las construcciones como programas interactivos ya que responde a las acciones del usuario del programa cuando arrastra los puntos de control.