Descripción

La esfera circunscrita a un tetraedro

Este reto consiste en hacer una construcción interactiva de un tetraedro y de su esfera circunscrita, es decir, la que pasa por sus cuatro vértices.

Ejemplo interactivo

He aquí una versión funcional de esta construcción. Úsala arrastrando los puntos de control (es decir, los pequeños circulitos) modificar el tetraedro y gira la figura para comprobar que siempre la esfera azul pasa por los sus vértices. Tu reto consiste en realizar esta misma construcción en el programa ProGeo3D. Trata de hacerlo de manera que le des un toque personal para que con solo verla puedas saber que es la que tú hiciste.

Realiza tu construcción aquí.

¿Qué te conviene saber?

Para realizar esta actividad, te conviene saber que:

• La intersección de dos planos es una recta;
• La intersección de una recta y un plano es un punto;
• el plano mediador de un segmento es el que equidista de sus dos extremos;
• Los planos mediadores de las aristas de un tetraedro pasan por el centro de su esfera circunscrita;

Sugerencias para la construcción

Conviene dibujar con segmentos un triángulo en el plano. Luego pasar a la vista 3D y allí crear un punto fuera del plano donde está el triángulo y dibujar los segmentos de él a los vértices del triángulo. Con esto se tendrá dibujado un tetraedro en 3D.

Luego conviene dibujar los planos mediadores de dos aristas del tetraedro y construir su recta de intersección. Luego conviene dibujar el plano mediador de una tercera arista y encontrar su punto de intersección con la recta anteriormente definida. Ése debe ser el centro de la esfera circunscrita al tetraedro. ¿Por qué? Mira la última sección de esta actividad si no encuentras la razón.

Si después de intentarlo bastante tiempo no haz logrado terminar la construcción y hacerla funcionar correctamente o si quieres compararla con la a versión que aparece como muestra, haz clic en el siguiente botón: Mostrar código

Conceptos matemáticos y computacionales

Los puntos del plano mediador de un segmento tienen la misma distancia a los dos extremos del segmento. El punto de intersección de tres de los planos mediadores de las aristas de un tetraedro está a la misma distancia de todos los vértices del tetraedro. En efecto, el tetraedro solo tiene 4 vértices, una vez que hemos seleccionado tres de sus aristas, todos los vértices deberán estar en al menos una de ellas. Y por lo tanto, el punto de intersección de los tres planos mediadores de esas tres aristas está a la misma distancia de los cuatro vértices del tetraedro. Así que basta crear una esfera con centro en ese punto y que pase por cualquiera de los vértices del tetraedro para que la esfera pase también por los otros tres vértices.

La secuencia de pasos de una construcción geométrica como ésta es un ejemplo muy simple de un programa computacional. Las construcciones geométricas que se realizan con un programa de Geometría Dinámica, como ProGeo3D, son secuencias de instrucciones que se transmiten a la computadora mediante clics y movimientos del ratón. El programa de geometría dinámica interpreta esos clics y movimientos como pasos de la construcción, los guarda y los ejecuta en orden para poder así hacer el dibujo de la construcción.

Una construcción geométrica como ésta es un programa interactivo porque el usuario puede arrastrar con el ratón los puntos de control para generar diversas vistas de lo que se ha construido.

En resumen, un programa de geometría dinámica es a la vez el editor de las construcciones (que son programas sencillos) y el intérprete de las construcciones como programas interactivos ya que responde a las acciones del usuario del programa cuando arrastra los puntos de control.