Superficies de Revolución
Resumen.
Se muestran varios ejemplos de superficies de revolución: cilindro, cono, hiperboloide de revolución, esfera y una superficie generada girando alrededor del eje z una gráfica y=f(z).
Objetivo.
Conocer mediante ejemplo las superficies que se generan con una curva generatriz girando alrededor de un eje de rotación. Aprender cómo se generan de esta manera algunas superficies bien conocidas como el cilindro, el cono y la esfera.
Ver el efecto que produce la variación de los parámetros en las superficies.
Iniciar al estudiante en las superficies generadas haciendo girar una gráfica y=f(z) para ver la variedad de resultados posibles.
Actividades recomendadas.
Hacer girar el cilindro, el cono y el hiperboloide con el ratón para observarlo detenidamente y después ver las ecuaciones que lo generan. Comparar las semejanzas y las diferencias.
Pensar porqué se dice que el hiperboloide de revolución es una superficie reglada.
Estudiar la esfera y reconocer cómo se incluye la circunferencia en sus ecuaciones.
Estudiar el elipsoide modificando el parámetro "alto" y después modificar también el parámetro "ancho" y observar que si son diferentes ambos parámetros el elipsoide no es de revolución.
Intuir el tipo de función f(z) que puede producir la curiosa superficie de revolución al final de la página.
Las superficies de revolución son aquellas que se generan haciendo girar una curva alrededor de un eje.
Esta página presenta varios ejemplos de superficies de revolución indicando en cada caso la curva generatriz y el eje de rotación.
| El cilindro (circular recto) que muestra este ejemplo se genera haciendo girar una recta paralela al eje z alrededor del mismo eje z. El estudiante puede girar el cilindro (arrastrándolo con el ratón) para estudiarlo detenidamente y luego debe abrir la ventana de configuración (haciendo un doble click sobre el applet) para estudiar las ecuaciones que definen la superficie. |
| El cono (circular recto) que muestra este ejemplo se genera haciendo girar
una recta alrededor de un eje cualquiera que no coincida con la recta pero que la
intersecte. En este caso se ha elegido como generatriz la recta sobre el plano yz que pasa por el origen y que hace un ángulo de 30 grados con el eje z. El eje de rotación es el eje z. El estudiante puede girar el cono (arrastrándolo con el ratón) para estudiarlo detenidamente y luego debe abrir la ventana de configuración (haciendo un doble click sobre el applet) para estudiar las ecuaciones que definen al cono. |
| Si la recta generatriz no intersecta al eje de revolución, entonces se
genera un hiperboloide de revolución. En este caso se ha elegido como generatriz la recta paralela al plano yz que pasa por el punto (0,0.25,0) que hace un ángulo de 30 grados con la vertical. El eje de rotación es otra vez el eje z. El estudiante puede girar el hiperboloide (arrastrándolo con el ratón) para estudiarlo detenidamente y luego debe abrir la ventana de configuración (haciendo un doble click sobre el applet) para estudiar las ecuaciones que lo definen y compararlas con las del cono. Se le sugiere modificar los valores de la variable ancho y ver cómo se modifica la superficie, en particular si ancho=0 el hiperboloide se conviete en el cono del ejemplo anterior. |
¿Puedes explicar ahora porqué se dice que el hiperboloide de revolución es una superficie reglada?
| La esfera se obtiene haciendo girar una circunferencia alrededor de uno de
sus diámetros. En este caso se ha elegido como generatriz la circunferencia en el plano y-z con centro en el origen y l eje de rotación es el eje z. El estudiante debe abrir la ventana de configuración (haciendo un doble click sobre el applet) para estudiar las ecuaciones que definen la esfera. ¿Puedes distinguir cómo se ha incluido la circunferencia que gira en las ecuaciones? (Recuerda que sen2(a)+cos2(a)=1.) |
| Si en lugar de una circunferencia lo que se hace girar es una elipse y el
eje de rotación es uno de los semiejes, entonces se obtiene un elipsoide de revolución. En este caso se ha elegido como generatriz la elipse en el plano y-z con semiejes 1.5 y 2 y el eje de rotación es el eje z. Se trata de un elipsode oblongo porque el semieje de rotación es mayor que el otro. El estudiante debe abrir la ventana de configuración (haciendo un doble click sobre el applet) para estudiar las ecuaciones que definen el elipsoide y debe variar el valor del parámetro alto para obtener un elipsoide oblato, es decir el que tiene al semieje menor como eje de rotación. También se sugiere estudiar lo que ocurre cuando las variables ancho y alto no son iguales. En ese caso el elipsoide ya no es de revolución. |
| La gráfica de y=f(z) en el plano y-z puede tener muchas
formas diferentes. Si esta gráfica se hace girar alrededor del eje z se obtiene una
superficie de revolución. Este sistema permite definir muchas superficies de revolución
de las formas más variadas. ¿Puedes adivinar la función f(z) cuya gráfica y=f(z) se ha hecho girar alrededor del eje z para producir la superficie de este ejemplo? Comprueba tu respuesta consultando la ventana de configuración del applet y mirando las ecuaciones. |
| El toro o toroide es también una superficie de revolución. El que
aparece en este ejemplo se obtiene haciendo girar una circunferencia en el plano y-z que
no intersecta al eje z, alrededor del mismo eje z. Estudie las ecuaciones que definen al toro y determine le radio y el centro de la circunferencia generatriz. |