La sucesión de Fibonacci

   Es posible construir un rectángulo que se aproxime, tanto como se desee, a un rectángulo áureo. El proceso es el siguiente:

  1. Dibújense juntos dos cuadrados idénticos cuyo lado mida una unidad elegida arbitrariamente. Estos dos cuadrados pegados constituyen lo que llamaremos nuestro rectángulo de etapa 1.
  2. Supongamos que tenemos el rectángulo áureo de etapa k. Para obtener el de etapa k+1 añadimos al de etapa k un cuadrado cuyo lado mida lo mismo que el lado mayor del rectángulo de etapa k.

  Las longitudes de los lados de los dos cuadrados iniciales son 1 (unidad arbitraria), luego se añade un cuadrado de lado 2, luego se añade uno de lado 3, luego uno de 5, luego uno de 8. La secuencia de las longitudes es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

  A esta sucesión de números se le conoce como la sucesión de Fibonacci y tiene una cualidad muy interesante: un término cualquiera de ella se obtiene sumando los dos términos previos. Por ejemplo, el tercero es 2 que resulta de sumar los dos primeros unos; el octavo es 21 que resulta de sumar 13 y 8. Esto nos recuerda una propiedad de f que ya mencionamos (la que se refiere a las potencias de f).

  En la aproximación al rectángulo áureo que hemos construido, siempre ocurre que el lado mayor del rectángulo es un término de la sucesión de Fibonacci y el lado menor es el término anterior. Curiosamente si dividimos el i-ésimo término de la sucesión entre el inmediato anterior, es decir, el (i-1)-ésimo; el resultado se acerca tanto al valor de la razón áurea, cuanto mayor sea el valor de i. Es decir, mientras más avancemos en la sucesión, el cociente de un término entre el término que le antecede se aproxima más al valor de f. Así que conforme vayamos agregando cada vez más cuadrados a nuestra construcción, nuestra aproximación a un rectángulo áureo será mejor.

  Por ejemplo los cocientes que obtenemos para los términos mostrados arriba son: 1, 2, 1.5, 1.666..., 1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.617. Nótese que los valores de los cocientes son, alternadamente, superiores e inferiores al valor de f.

  La sucesión de Fibonacci apareció por primera vez en el Liber Abaci escrito por Leonardo de Pisa (Fibonacci o Hijo de Bonaccio) en 1202. En esta obra que, contrario a lo que indica el título, no versa sobre el ábaco, Fibonacci habla del sistema de numeración indoarábigo y de sus virtudes como medio para expresar y manipular números. Al final el autor pone una serie de ejercicios que permiten evidenciar dichas virtudes. La sucesión de Fibonacci surge de uno de esos ejercicios.

José Galaviz