1.2  El mapeo logístico.

Imaginemos que tenemos una población de conejos en un área limitada y que queremos saber, en todo momento, cuántos conejos hay. Vamos a suponer que el tiempo avanza en pasos, generaciones por ejemplo. Si quisiéramos saber el número de conejos en la generación t, lo denotaremos como P_t , para cualquier valor de t.

Por supuesto el número de conejos que habrá en la generación t depende del número de conejos que ya estaban en la población antes de esa generación y que serán padres de los que se integrarán a la población en la generación t. Es decir, el número de conejos en la generación t está en función, o depende, del número de conejos en la generación t-1, esto lo escribimos:

Pt = f(Pt-1)

(1.1)

donde f es una función.

Lo primero que se nos ocurre es que haya una tasa de crecimiento constante de la población, que denotaremos con a, para que entonces ocurra:

Pt = a Pt-1

(1.2)

Siguiendo esta regla de correspondencia podemos decir que al principio había a conejos; luego, en la generación 2, hay a² conejos; a³ en la tercera generación y así sucesivamente. Pero esta regla de correspondencia no funciona muy bien, porque la población de conejos no puede crecer indefinidamente, la naturaleza tiene límites y seguramente luego de un tiempo los conejos ya no tendrían alimento suficiente y la población disminuiría. Es decir, nuestra tasa a no puede tener un valor fijo, debe depender del número de conejos de alguna manera, o sea que a debe ser función de P_t. Lo más simple que se nos ocurre es decir que:

at = b - c Pt-1

(1.3)

donde b y c son constantes. Así la tasa de crecimiento de la población se hace menor cuanto mayor sea la población. Reemplazando la a de la expresión 1.2 por esta nueva a_t tenemos:

Pt = (b - c Pt-1) Pt-1 = b Pt-1 - c P2t-1 (1.4)

Si definimos x_t = (c / b)P_t, es decir:

Pt =  b c xt

(1.5)

entonces podemos reescribir la expresión 1.4 como:

b c xt = b  b c xt-1 - c  æ è  b c xt-1 ö ø 2   =  b2 c xt-1 -  b2 c x2t-1 =  b2 c xt-1 ( 1 - xt-1 )

lo que equivale a decir:

xt = b xt-1 ( 1 - xt-1 )

(1.6)

Esta es la expresión de lo que se conoce como ecuación logística. En este trabajo nos daremos a la tarea de analizar esta ecuación, pero la expresaremos como:

xt = 4 r xt-1 ( 1 - xt-1 )

(1.7)

y diremos que el dominio es el conjunto de todos los números reales entre cero y uno, es decir el intervalo de la recta real [0,1]. También restringiremos el valor de r al mismo intervalo y, como hemos dicho que el tiempo avanza en pasos, los valores para t son los números naturales  N = { 0, 1,... }.