3.5  Los descubrimientos de Feigenbaum.

Otra curiosa característica que denota algo de orden es la siguiente: fijemos nuestra atención en los valores de r para los que hay una bifurcación. Es decir los valores de r para los que se pasa de tener puntos de periodo n a puntos de periodo 2n. Llamemos p_i al i-ésimo de estos valores de r. Así por ejemplo, p₁ = 0.75, el valor de r para el que se pasa de tener un sólo punto fijo a un par de puntos de periodo dos, p₂=0.862 (aproximadamente) cuando obtenemos por primera vez puntos de periodo 4 y p₃ = 0.885, cuando obtenemos puntos de periodo 8. Si ahora hacemos:

p2-p1 p3-p2 =  0.862-0.75 0.885-0.862 =  0.112 0.023 = 4.86957

resulta un número que, en principio, no se ve muy interesante. Lo realmente interesante es que, si continuamos haciendo esta división del tamaño de los intervalos en los que ocurren bifurcaciones, el resultado no es muy diferente del número anterior, de hecho nos acercamos cada vez más a un cierto número fijo, a saber:

d =  pn+1-pn pn+2-pn+1 »   4.669201609

al que se le ha llamado constante de Feigenbaum, en honor a su descubridor M. Feigenbaum, que llegó a ella en 1975.

Además de d hay otra constante de Feigenbaum, a la que se suele denotar con a » 2.502907875. Este es también el valor límite de un cociente. Si dividimos la distancia que hay entre dos ramas al momento de bifurcarse y la distancia que hay entre las ramas de la bifurcación siguiente nos acercamos cada vez más a a.