Hemos hecho una visita guiada al caos usando como caso de estudio la función logística, pero hay muchas otras funciones, algunas tan simples como el mapeo logístico, que exhiben comportamiento caótico. Las cualidades del caos que hemos mencionado se cumplen en todas ellas y de hecho, como también hemos mencionado, las constantes de Feigenbaum permanecen vigentes para mapeos del mismo tipo (continuos, con una sola variable independiente y con el mismo grado). El fenómeno de la cascada de bifurcaciones es también común a todos ellos.
El lector habrá notado la similitud que existe entre el aspecto general del diagrama de bifurcaciones y el que muestra luego de hacerle un acercamiento. Justamente eso es lo que nos indican las constantes de Feigenbaum: que el aspecto de cada acercamiento es una reproducción aproximada a escala, del aspecto que presenta el diagrama en general, la similitud es perfecta en el límite, cuando hemos hecho (si esto fuera posible) infinitos acercamientos. Esta es una cualidad de un tipo particular de objetos llamados fractales.
Esto nos lleva a pensar que es posible estudiar el comportamiento general de las funciones caóticas del mismo grado si podemos olvidarnos de la escala aproximada, es decir, si nos ponemos a observar cómo se comportan en el límite cuando la similitud es perfecta. Feigenbaum exploró esta idea, para ello se valió de un recurso matemático usual en física llamado renormalización y que consiste, justamente, en hacer una especie de acercamiento infinito con el fin de que el factor de escala fuera único y perfecto siempre.
A nosotros nos parece que la tierra es plana porque siempre tenemos sólo una visión de un pequeño trozo el planeta, somos tan pequeños con relación al tamaño de la tierra que, sin pretenderlo, nuestros ojos han hecho un acercamiento, una ampliación de la casi esfera que habitamos y nos parece un plano. La idea de la renormalización es esa: un segmento infinitesimal de circunferencia es, en el límite ycuando se renormaliza, una línea recta que, sin importar a que escala se vea, sigue siendo una línea recta, su autosimilitud es perfecta.
Esto llevó a Feigenbaum a lo que se conoce como la función de Feigenbaum, que resulta ser una función que depende de una función, aquella que exhibe el comportamiento caótico. En la función de Feigenbaum el factor de escala es perfecto y es justamente el valor de a ya mencionado. La ventaja primordial de poseer esta herramienta es que se tiene un modelo que engloba a todas las funciones caóticas del mismo grado y extraer propiedades de este modelo equivale a hacerlo para todas ellas. La desventaja es que al renormalizar, algo del detalle se pierde, algunas de las cualidades específicas de cada función ya no son recuperables. Sin duda mucho resta por hacer.