Crecimiento Exponencial

Si tenemos una población inicial P(0) y cualquier tasa de crecimiento q, la población después de t unidades de tiempo es

P(t) = P(0)(1+q)^t

Deseamos ver que esta fórmula vale para cualquier número real y no únicamente para t entera.

Calculemos primero la tasa de crecimiento q_1/n   en   1/n unidades de tiempo.

Sabemos que

P(1) = P(0)(1+q)

Por otro lado, como 1 = n/n, entonces

P(1) = P(0)(1+q_1/n)ⁿ

Igualando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos

1+q = (1+q_1/n)ⁿ

y despejando q_1/n

q_1/n = (1+q)^1/n-1

Ya teniendo la tasa de crecimiento q_1/n en 1/n unidades de tiempo, podemos saber la población que hay después de 1/n unidades de tiempo

P(1/n) = P(0)(1+q_1/n) = P(0)(1+q)^1/n

y

P(m/n) = P(0)(1+q_1/n)^m = P(0) ((1+q)^1/n) ^m = P(0)(1+q)^m/n

Así que la fórmula P(t) = P(0)(1+q)^t vale también para t = m/n.

El número P(t) de individuos en el momento t siempre es un entero y la gráfica "salta" cada vez que un individuo nace o muere, sin embargo, si la población es grande, estos saltos son tan pequeños con relación a ella, que conviene suponer que la función P(t) es continua y como la función exponencial f(t)=P(0)(1+q)^t es continua y estas dos funciones son iguales al evaluarlas en números racionales m/n, entonces son iguales también en cualquier número real, así que la fórmula

P(t) = P(0)(1+q)^t

vale para todo númeo real t.