Pero no sólo los arqueólogos utilizan matemáticas para su trabajo. En los bancos se utiliza el crecimiento exponencial para saber cuánto le tienen que dar a sus clientes ahorradores al final del año.

Imaginen a Alejandra, que invierte $100 en un banco a una tasa de interés de 12% anual.

¿Cuánto tendrá Alejandra al final del año?

Este es un problema de interés simple, el valor de la inversión al final del año ( F) será igual al capital inicial (C) multiplicado por (1+i) donde i es la tasa de interés anual.

F
=
C( 1+i)
=
100( 1.12)
=
112

así que Alejandra tendrá $112 al final del año.

 

Ahora, ¿qué pasa si Alejandra invierte los mismos $100 a la misma tasa de interés (12%), pero al final del primer semestre le pagan los réditos y los vuelve a invertir junto con el capital inicial?.

Si la tasa de interés anual es de 12%, en 1/2 año la tasa será de 12/2=6%, así que al final del primer semestre, Alejandra tendrá

100( 1+0.06) = 106
por lo que en el segundo semestre invierte $106 y al final del año tendrá
106( 1+0.06) = $112.36

que es más que lo que obtiene con una inversión en la que le pagan los réditos al final del año.

¿Cuánto obtendría si repite esto cada mes? ¿Ganaría más?

Si Alejandra invierte los mismos $100 al 12%, pero le pagan los réditos cada mes y los reinvierte junto con el capital inicial, ¿cuánto tendrá al final del año?

Como la tasa de interés anual es de 12%, la tasa mensual será de 12/12=1%, así que

Mes
Inicial
Final
1
100
100 (1+0.01) = 101
2
101
101 (1+0.01) = 102.01
3
102.01
102.01 (1+0.01) = 103.030 1
4
103.030 
103.030 (1+0.01) = 104.060 3
...
...
...

Observemos que en cada mes multiplicamos el valor final del año anterior por 1+0.01, así que al final del mes n el valor de la inversión es

F=100 (1+0.01) n

Al final de los doce meses el valor de la inversión es

F=100 (1+0.01) 12=$112.6825

¿Qué pasaría si la inversión se realizara diario?

Si la inversión de Alejandra le pagara los réditos diariamente, con posibilidad de reinvertirlos en ese momento, ¿cuál sería el valor de la inversión al final del año?

La tasa de interés diaria es de 12/365 % por lo que al final de 365 días, la inversión tendrá un valor de

F=100 æ
è 		1+  0.12
365
 ö
ø		 365 =$112.747 46

Con lo anterior, obtenemos el siguiente resultado:

Inversión con interés continuo

Observemos que conforme dividimos el año en intervalos más pequeños, el valor final de la inversión crece. Podemos preguntarnos qué pasará si seguimos dividiendo el año, por ejemplo, en horas o en minutos o en segundos.

Usando el ejemplo anterior, podemos deducir que si dividimos el año en m periodos, el valor final de la inversión es
F=100 æ
è 		1+  0.12
m
  		ö
ø 		m

Puede verse que este valor crece conforme m crece, así que ahora podemos preguntarnos si crecerá indefinidamente o si tenderá a un valor finito.

Para ello, debemos calcular el límite
 
lim
m®¥ 
 100 æ
è 		1+  0.12
m
  		ö
ø 		m

=100×e0.12=112.749 69
Así que el valor de la inversión al final del año, a una tasa de interés de 12% anual reinvertida continuamente es
F=100×e0.12=$112.749 69

En general, si se tiene un capital inicial C invertido a un año, a una tasa de interés anual i reinvertido continuamente, el valor final de la inversión será
F=C×ei
A este tipo de inversión se le conoce como inversión con interés continuo.