1.3  Algo sobre los dominios de las funciones.

Hasta ahora, intencionalmente, no hemos hablado acerca de qué tipo de cosas pueden servir para integrar el dominio de las funciones. En general puede ser cualquier conjunto, pero nosotros nos restringiremos a conjuntos de números o de parejas de números.

Supongamos que tenemos una hoja de papel blanco sobre la mesa y le colocamos un par de reglas: una de ellas en la orilla inferior y la otra en la orilla izquierda. Esto define lo que en matemáticas se conoce como un sistema de coordenadas. Ahora un punto cualquiera en la hoja puede ser especificado diciendo a cuántos centímetros está del borde izquierdo (lo que nos es dado por la regla inferior) y a cuántos del borde inferior (lo que nos es dado por la regla en la izquierda). Podemos entonces decir que un punto cualquiera es una pareja de números (x,y), donde x es la distancia al borde izquierdo y y la distancia al borde inferior. Esto se puede hacer siempre en una superficie, es decir en un objeto de dos dimensiones. Podemos entonces pensar en funciones que asocian puntos del plano en puntos del plano, es decir, a cada pareja (xe,ye) le asocian también una pareja (xs,ys) (la e es de entrada, la s de salida ). Es posible describir este tipo de funciones a partir de un par de funciones, cada una de ellas asociada a uno de los elementos de la pareja. Es decir, podemos definir una función f del plano en sí mismo:
f1(xe, ye) = xs
f2(xe, ye) = ys
y escribiendo:

f (xeye) = (f1(xeye),  f2(xeye)).

Éste será uno de los conjuntos que usaremos como dominio, un subconjunto de puntos del plano. Otro de los conjuntos que usaremos es equivalente a éste, pero posee sus propias reglas para hacer operaciones, así que debemos tratarlo por sí mismo.

El segundo conjunto al que nos referimos es el conjunto de los números complejos. Esencialmente un número complejo, al igual que un punto del plano, está descrito por un par de números (x, y), pero tienen definidas operaciones particulares sobre ellos. Si (a1, b1) y (a2, b2) son un par de números complejos entonces las operaciones se comportan como a continuación se describe:

suma
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1+ a2,  b1+ b2)
resta
(a1, b1) - (a2, b2) = (a1- a2,  b1- b2)
producto
(a1, b1) × (a2, b2) = (a1 a2- b1 b2,   a1 b2 + a2 b1)
De estas operaciones la suma y resta son idénticas a las que poseen los puntos en el plano. El producto en cambio, es un rasgo peculiar de los números complejos.

De la definición de producto es fácil obtener el valor del cuadrado de un número complejo cualquiera z = (a, b):
z2 = (a2-b2,  2ab)
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