Supongamos que tenemos una hoja de papel blanco sobre la mesa y le colocamos
un par de reglas: una de ellas en la orilla inferior y la otra en la orilla
izquierda. Esto define lo que en matemáticas se conoce como un sistema
de coordenadas. Ahora un punto cualquiera en la hoja puede ser especificado
diciendo a cuántos centímetros está del borde izquierdo
(lo que nos es dado por la regla inferior) y a cuántos del borde inferior
(lo que nos es dado por la regla en la izquierda). Podemos entonces decir que
un punto cualquiera es una pareja de números (x,y), donde
x es la distancia al borde izquierdo y y la distancia al borde
inferior. Esto se puede hacer siempre en una superficie, es decir en un objeto
de dos dimensiones. Podemos entonces pensar en funciones que asocian puntos
del plano en puntos del plano, es decir, a cada pareja (xe,ye)
le asocian también una pareja (xs,ys)
(la e es de entrada, la s de salida ). Es posible
describir este tipo de funciones a partir de un par de funciones, cada una de
ellas asociada a uno de los elementos de la pareja. Es decir, podemos definir
una función f del plano en sí mismo:
|
Éste será uno de los conjuntos que usaremos como dominio, un subconjunto de puntos del plano. Otro de los conjuntos que usaremos es equivalente a éste, pero posee sus propias reglas para hacer operaciones, así que debemos tratarlo por sí mismo.
El segundo conjunto al que nos referimos es el conjunto de los números complejos. Esencialmente un número complejo, al igual que un punto del plano, está descrito por un par de números (x, y), pero tienen definidas operaciones particulares sobre ellos. Si (a1, b1) y (a2, b2) son un par de números complejos entonces las operaciones se comportan como a continuación se describe:
De la definición de producto es fácil obtener el valor
del cuadrado de un número complejo cualquiera z = (a,
b):
|
(1) |