1.1  Funciones, composición, iteración.

Sin duda uno de los conceptos más importantes en matemáticas es el de función. Una función es un vínculo, una relación entre dos conjuntos de cosas. Este vínculo tiene la característica de que relaciona el objeto de uno de los conjuntos con otro único elemento en el otro conjunto. Para denotar una función de nombre f se utiliza la notación f : A-->B, lo que indica que la función f  relaciona los objetos de un conjunto A, llamado el dominio de la función, con los de otro conjunto B, llamado el contradominio. Así que si tomamos un elemento a en el conjunto A que esté en la relación determinada por f, sólo nos será posible encontrar un único elemento b en B relacionado con a mediante f; lo que podemos denotar como f (a)=b. No se vale que una función le asocie a a más de un elemento en B. Podemos ver a una función como un ente que "come'', o recibe como entrada elementos de su dominio y produce o entrega como salida elementos de su contradominio.

Es posible construir funciones a partir de funciones. Si una función f : A-->B tiene como contradominio el conjunto que constituye el dominio de otra función g : B-->C, es posible construir la función h : A-->C de la siguiente manera: dado un elemento a en A le aplicamos f, esto nos entrega un elemento b en B al que le aplicamos ahora g para obtener c, un elemento de C. A esto se le llama composición de funciones y podemos usar la notación h(a) = g(f (a)) = c.

No hay restricción alguna que nos impida definir funciones en las que tanto el dominio como el contradominio son el mismo conjunto. En ese caso es posible componer una función consigo misma. Si f es una función en la que el dominio y el contradominio son el mismo conjunto A, es decir, f :  A-->A, podemos hacer lo siguiente con cualquier elemento a en A: f 2(a)=f (f (a)), aquí el superíndice 2 (ese que aparece arriba a la derecha de f ) NO denota el cuadrado de f sino la doble aplicación de f, es decir aplicar f a a y luego aplicar f a lo que resulte (que, por supuesto es f (a)). A esto se le llama iterar la función f. Podemos pensar entonces en definir f.n(a) como el resultado de iterar n veces la función f a partir de un elemento inicial a en su dominio, o lo que es lo mismo, el resultado de aplicar f a lo que se obtiene del proceso de iterar f sobre a. Esto es, esencialmente, lo que estábamos haciendo al construir nuestras curvas fractales: aplicábamos el proceso de substitución de segmentos por curvas, en la curva de la etapa anterior.

Como en el caso de las curvas fractales, nos interesa particularmente cuando el proceso converge: si el número de iteraciones crece indefinidamente el resultado de iterar el proceso tiende, en el límite, a un conjunto bien definido.