1  Producto cruz o producto vectorial

Definición 0 Consideremos dos vectores a=( a₁,a₂,a₃) y b=( b₁,b₂,b₃) en R³. El producto cruz de a y b denotado por a×b se define como el vector

a×b= ê ê ê a2 a3 b2 b3 ê ê ê i- ê ê ê a1 a3 b1 b3 ê ê ê j+ ê ê ê a1 a2 b1 b2 ê ê ê k = ( a2b3-b2a3,a1b3-b1a3,a1b2-b1a2) ,

lo que también puede escribirse del modo siguiente:

a×b= ê ê ê ê ê i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3 ê ê ê ê ê

donde recordamos que i=( 1,0,0) , j=(0,1,0) , k=( 0,0,1) .

Observación:

El producto cruz de dos vectores es un vector.

Teorema 0 Sean a=( a₁,a₂,a₃) y b=(b₁,b₂,b₃) dos vectores en R³ y l un número real entonces

i) a×a=0.
ii) a×b=-( b×a) .
iii) i×j=k, j×k=i, k×i=j.
iv) a×lb=l( a×b) = la×b.
v) || a×b|| = ||a|| || b|| senq, donde 0^° £ q £ 180^°.

Demostración:

i)




a×a= ê ê ê ê ê i j k a1 a2 a3 a1 a2 a3 ê ê ê ê ê =( a2a3-a2a3,a1a3-a1a3,a1a2-a1a2) = 0.


ii)




a×b= ê ê ê ê ê i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3 ê ê ê ê ê =( a2b3-b2a3,a1b3-b1a3,a1b2-b1a2)

y




b×a= ê ê ê ê ê i j k b1 b2 b3 a1 a2 a3 ê ê ê ê ê =( b2a3-a2b3,b1a3-a1b3,b1a2-a1b2)

comparando coordenada a coordenada tenemos que




a×b=-( b×a).


iii)




i×j= ê ê ê ê ê i j k 1 0 0 0 1 0 ê ê ê ê ê = ê ê ê 0 0 1 0 ê ê ê i- ê ê ê 1 0 0 0 ê ê ê j+ ê ê ê 1 0 0 1 ê ê ê k=0i-0j+1k=k.

Análogamente tenemos los otros dos casos.
iv)




a×lb = ê ê ê ê ê i j k a1 a2 a3 lb1 lb2 lb3 ê ê ê ê ê =( a2lb3-lb2a3,a1lb3-lb1a3,a1lb2-lb1a2)




= l( a2b3-b2a3,a1b3-b1a3,a1b2-b1a2) = l( a×b) .

Análogamente obtenemos el otro caso.
v) Calculemos




|| a×b|| 2=( a×b) ·( a×b),

es decir,




= æ ç è ê ê ê a2 a3 b2 b3 ê ê ê i- ê ê ê a1 a3 b1 b3 ê ê ê j+ ê ê ê a1 a2 b1 b2 ê ê ê k ö ÷ ø · æ ç è ê ê ê a2 a3 b2 b3 ê ê ê i- ê ê ê a1 a3 b1 b3 ê ê ê j+ ê ê ê a1 a2 b1 b2 ê ê ê k ö ÷ ø




= ê ê ê a2 a3 b2 b3 ê ê ê 2   i·i+ ê ê ê a1 a3 b1 b3 ê ê ê 2   j·j+ ê ê ê a1 a2 b1 b2 ê ê ê 2   k·k




= ê ê ê a2 a3 b2 b3 ê ê ê 2   + ê ê ê a1 a3 b1 b3 ê ê ê 2   + ê ê ê a1 a2 b1 b2 ê ê ê 2




= ( a2b3-b2a3) 2+( a1b3-b1a3) 2+( a1b2-b1a2) 2




= a22b32-2a2b3b2a3+b22a32+a12b32-2a1b3b1a3+b12a32+a12b22-2a1b2b1a2+b12a22




= a12( b22+b32) +a22( b12+b32) +a32( b12+b22) -2(a2b3b2a3+a1b3b1a3+a1b2b1a2)




= a12( b12+b22+b32) +a22(b12+b22+b32) +a32( b12+b22+b32) + -2( a2b3b2a3+a1b3b1a3+a1b2b1a2) -a12b12-a22b22-a32b32




= ( a12+a22+a32) ( b12+b22+b32) -( a1b1+a2b2+a3b3)2




= || a|| 2|| b|| 2-(a·b) 2 = || a|| 2|| b|| 2-||a|| 2|| b|| 2cos2q = || a|| 2|| b|| 2(1-cos2q) = || a|| 2|| b||2 sen2q.

de donde




|| a×b|| = || a|||| b|| senq.

Observación:

No es necesario escribir | senq| ya que para valores de q entre 0^° y 180^° se cumple senq ³ 0.

2  Triple producto escalar

Definición 0 Consideremos tres vectores a=( a₁,a₂,a₃) , b=( b₁,b₂,b₃) y c=(c₁,c₂,c₃) en R³. El triple producto escalar de a, b y c es el producto a·( b×c) , o sea es el siguiente número

a·( b×c) = ê ê ê ê ê a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ê ê ê ê ê =a1 ê ê ê b2 b3 c2 c3 ê ê ê -a2 ê ê ê b1 b3 c1 c3 ê ê ê +a3 ê ê ê b1 b2 c1 c2 ê ê ê

= a1( b2c3-c2b3) -a2( b1c3-c1b3) +a3( b1c2-c1b2) .

Teorema 0 Si a=( a₁,a₂,a₃) y b=(b₁,b₂,b₃) son vectores en R³ entonces

a·( a×b) = b·( a×b) = 0,

es decir, el vector a×b es perpendicular a a y a b.

Demostración:

a·( a×b) = ê ê ê ê ê a1 a2 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 ê ê ê ê ê =a1 ê ê ê a2 a3 b2 b3 ê ê ê -a2 ê ê ê a1 a3 b1 b3 ê ê ê +a3 ê ê ê a1 a2 b1 b2 ê ê ê

= a1( a2b3-b2a3) -a2( a1b3-b1a3) +a3( a1b2-b1a2)

= a1a2b3-a1b2a3-a2a1b3+a2b1a3+a3a1b2-a3b1a2 = 0.

En el otro caso, tenemos a partir de lo anterior y de las propiedades de los productos punto y cruz que

b·( a×b) = b·-( b×a) = -( b·( b×a) ) = -0=0

3  Derivada del producto cruz de dos funciones

Consideremos una función F:[ a,b] Ì R®R³, es decir,

F( t) = ( f1( t) ,f2(t) ,f3( t) ) ,

donde f_i( t) :[ a,b] ®R, para i=1,2,3 y llamamos a las f_i las funciones componentes de F.

La función F es derivable con respecto a t si las tres funciones f₁( t) ,f₂( t) y f₃(t) son derivables respecto a t y en este caso escribimos

d dt F( t) = æ ç è d dt f1(t) , d dt f2( t) , d dt f3(t) ö ÷ ø .

Teorema 0 Sean F, G:[ a,b] Ì  R®R³ dos funciones derivables, entonces

d dt ( F( t) ×G(t) ) = æ ç è d dt ( F( t)) ×G( t) ö ÷ ø + æ ç è F(t) × d dt ( G( t) ) ö ÷ ø

Demostración:

Supongamos que

F( t) = ( f1( t) ,f2(t) ,f3( t) )             y            G( t) = ( g1(t) ,g2( t) ,g3( t) )

entonces,

F( t) ×G( t) = ê ê ê ê ê i j k f1( t) f2( t) f3( t) g1( t) g2( t) g3( t) ê ê ê ê ê

= i ê ê ê f2( t) f3( t) g2( t) g3( t) ê ê ê -j ê ê ê f1( t) f3( t) g1( t) g3( t) ê ê ê +k ê ê ê f1( t) f2( t) g1( t) g2( t) ê ê ê

= ( f2( t) g3( t) -g2(t) f3( t) ,g1( t) f3(t) -f1( t) g3( t) ,f1(t) g2( t) -g1( t) f2(t) )

entonces [d/dt]( F( t) ×G( t) ) es

d dt ( f2( t) g3( t)-g2( t) f3( t) ,g1( t)f3( t) -f1( t) g3( t),f1( t) g2( t) -g1( t)f2( t) ) = = æ ç è d dt ( f2( t) g3( t)-g2( t) f3( t) ) , d dt (g1( t) f3( t) -f1( t)g3( t) ) , d dt ( f1( t)g2( t) -g1( t) f2( t) ) ö ÷ ø

Calculemos [d/dt]( f₂( t) g₃( t)-g₂( t) f₃( t) ) .

Como f₂(t) , f₃( t) , g₂( t) , g₃( t) son funciones reales de variable real entonces la derivada [d/dt]( f₂( t) g₃( t)-g₂( t) f₃( t) ) es

= d dt ( f2( t) )   g3(t) +f2( t)    d dt ( g3(t) ) - d dt ( g2( t) )  f3( t) -g2( t)    d dt (f3( t) )

= d dt ( f2( t) )   g3(t) -g2( t)    d dt ( f3(t) ) +f2( t)    d dt (g3( t) ) - d dt ( g2( t))   f3( t)

= ê ê ê ê ê ê d dt f2( t) d dt f3( t) g2( t) g3( t) ê ê ê ê ê ê + ê ê ê ê ê ê f2( t)   f3( t) d dt g2( t) d dt g3( t) ê ê ê ê ê ê

Análogamente tenemos

d dt ( g1( t)f3( t) -f1( t) g3( t) )

= d dt ( g1( t) )   f3(t) +  g1( t) d dt (  f3(t) ) - d dt ( f1( t) )  g3( t) -  f1( t) d dt (g3( t) )

=   g1( t) d dt (  f3( t)) - d dt ( f1( t) )   g3( t) + d dt ( g1( t) )  f3( t) -  f1( t) d dt (g3( t) )

= - æ ç è d dt ( f1( t) )  g3( t) -g1( t) d dt ( f3( t) ) ö ÷ ø - æ ç è  f1( t) d dt ( g3( t) ) - d dt (g1( t) )   f3( t) ö ÷ ø

= - ê ê ê ê ê ê d dt f1( t) d dt  f3( t) g1( t) g3( t) ê ê ê ê ê ê - ê ê ê ê ê ê  f1( t) f3( t) d dt g1( t) d dt g3( t) ê ê ê ê ê ê

y

d dt ( f1( t) g2( t)-g1( t) f2( t) )

= d dt ( f1( t) )  g2(t) +  f1( t) d dt  ( g2(t) ) - d dt ( g1( t) ) f2( t) -g1( t)    d dt (f2( t) )

= d dt ( f1( t) )  g2(t) -g1( t)    d dt ( f2(t) ) +  f1( t) d dt  (g2( t) ) - d dt ( g1( t))  f2( t)

= ê ê ê ê ê ê d dt f1( t) d dt f2( t) g1( t) g2( t) ê ê ê ê ê ê + ê ê ê ê ê ê f1( t) f2( t) d dt g1( t) d dt  g2( t) ê ê ê ê ê ê

Entonces

d dt ( F( t) ×G( t) )

= æ ç ç ç ç è ê ê ê ê ê ê d dt f2( t) d dt f3( t) g2( t) g3( t) ê ê ê ê ê ê ,- ê ê ê ê ê ê d dt f1( t) d dt  f3( t) g1( t) g3( t) ê ê ê ê ê ê , ê ê ê ê ê ê d dt f1( t) d dt f2( t) g1( t) g2( t) ê ê ê ê ê ê ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

+ æ ç ç ç ç è ê ê ê ê ê ê f2( t)   f3( t) d dt g2( t) d dt g3( t) ê ê ê ê ê ê ,- ê ê ê ê ê ê  f1( t) f3( t) d dt g1( t) d dt g3( t) ê ê ê ê ê ê , ê ê ê ê ê ê f1( t) f2( t) d dt g1( t) d dt  g2( t) ê ê ê ê ê ê ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

de donde

ê ê ê ê ê ê ê ê i j k d dt f1( t) d dt f2( t) d dt f3( t) g1( t) g2( t) g3( t) ê ê ê ê ê ê ê ê + ê ê ê ê ê ê ê ê i j k  f1( t) f2( t)  f3( t) d dt g1( t) d dt g2( t) d dt g3( t) ê ê ê ê ê ê ê ê ,

esto es

æ ç è d dt f1( t) , d dt f2(t) , d dt f3( t) ö ÷ ø ×(g1( t) ,g2( t) ,g3( t)) +

+( f1( t) ,f2( t) ,f3(t) ) × æ ç è d dt g1( t), d dt g2( t) , d dt g3( t) ö ÷ ø .

Por tanto

d dt ( F( t) ×G(t) ) = æ ç è d dt F( t)×G( t) ö ÷ ø + æ ç è F(t) × d dt G( t) ö ÷ ø .