1  Ecuación Diferencial de segundo orden

Lema 1 Una función y=F( x) es solución de la ecuación diferencial

y¢¢=-y

(1)

si, y sólo si,

F( x) = Acosx+B senx.

donde A y B son constantes.

Demostración.

Supongamos que

y=F( x) = Acosx+B senx.

Entonces,

y¢=-A senx+Bcosx.

y¢¢=-Acosx-B senx=-y.

Es decir, y satisface la ecuación diferencial

Recíprocamente, supongamos que y =F(x) es una solución de la ecuación diferencial:

F¢¢(x)=-F( x) .

Definimos

G( x) = F( x) -F( 0) cosx-F¢( 0)  senx,

entonces,

G¢( x) = F¢( x) +F( 0) senx-F¢( 0) cosx,

G¢¢( x) = F¢¢( x) +F(0) cosx+F¢( 0)  senx=-(F( x) -F( 0) cosx-F¢( 0) senx) ,

ya que F^¢¢( x) = -F(x) por hipótesis. O sea,

G¢¢( x) = -G( x)

(2)

Además,

G¢¢( 0) = G( 0) = 0

(3)

Definamos ahora la función

H( x) = ( G¢( x) ) 2+(G( x) ) 2.

Y derivémosla

H¢( x) = 2( G¢( x) G¢¢( x) ) +2( G( x) G¢( x) )

Debido a la igualdad ( 2) tenemos que

H¢( x) = 0, para todo x

Por tanto,

H(x) es una función constante

y como H(0)=( G^¢( 0) ) ²+(G( 0) ) ²=0 (por la igualdades ( 3) ) concluimos que

H( x) = 0 para todo x;

en particular,

G( x) = 0 para todo x,

o lo que es lo mismo

F( x) = F( 0) cosx+F¢( 0) senx.

Así,

F( x) = Acosx+B senx.

Teorema 2 Consideremos la ecuación diferencial

y¢¢=-k2y,

donde k es una constante no nula. Entonces y=f( t) es solución de la ecuación si y sólo si existen constantes A y B tales que

f( t) = Acoskt+B senkt.

(4)

Demostración.

Como podemos observar el lema anterior es un caso particular de este teorema: cuando k=1. Lo usaremos para probar el teorema general.

Como antes, es fácil probar que f( t) = Acoskt+B senkt es solución de la ecuación, basta con derivar y hacer las sustituciones correspondientes, lo cual se deja al lector.

Veamos que cualquier solución de la ecuación es de la forma (4):

Supongamos que y=f( t) es una funcion que satisface la ecuación, o sea,

f¢¢( t) = -k2f( t) .

(5)

Definimos una nueva función

F(x)=f æ ç è x k ö ÷ ø

Probaremos que F(x) satisface la ecuación ( 1) del lema anterior. En efecto,

F¢( x) = 1 k f¢ æ ç è x k ö ÷ ø

y

F¢¢( x) = 1 k2 f¢¢ æ ç è x k ö ÷ ø .

Como la función f( s) satisface la ecuación(5) , tenemos que

F¢¢( x) = 1 k2 f¢¢ æ ç è x k ö ÷ ø = 1 k2 æ ç è -k2f æ ç è x k ö ÷ ø ö ÷ ø =-f æ ç è x k ö ÷ ø ,

es decir,

F¢¢( x) = -F(x).

De acuerdo al lema tenemos que

F( x) = F( 0) cosx+F¢( 0) senx.=f( 0) cosx+ 1 k f¢(0)  senx,

de donde

F( kt) = f( 0) coskt+ 1 k f¢(0)  senkt.

Como F(x)=f(x/k), llamando t=x/k entonces f(t)=F(kt), por lo que

f( t) = f( 0) coskt+ f¢(0) k  senkt.

Así

f( t) = Acoskt+B senkt.

Teorema 3 Consideremos la ecuación diferencial

y¢¢+k2y=b,   donde    k y b  son   constantes,

entonces y=f( t) es solución de la ecuación si y sólo si existen constantes A y B tales que

f( t) = b k +Acoskt+B senkt.

Demostración:

Si y=f( t) es una función doblemente derivable que satisface la ecuación, entonces consideramos la función

h( t) = f( t) - b k2 ,

entonces

h¢( t) = f¢( t)

y

h¢¢( t) = f¢¢( t) = b-k2f( t) = -k2 æ ç è - b k2 +f( t) ö ÷ ø =-k2h( t) .

Por el terorema anterior tenemos que

h( t) = Acoskt+B senkt.

Entonces

f( t) - b k2 =Acoskt+B senkt,

de donde

f( t) = b k2 +Acoskt+B senkt.

Teorema 4 La función

f( t) = Acoskt+B senkt

puede escribirse como

f( t) = Ccosk( t-a) .

Demostración

Elegimos C y a de manera que

senka = B C       y      coska = A C ,

es decir,

C= Ö   A2+B2         y      a = 1 k arctan æ ç è B A ö ÷ ø ,

entonces

B=C senka      y      A=Ccoska.

(6)

Sustituyendo las ecuaciones (6) en la expresión de f(t) tenemos

f( t) = Acoskt+Bsenkt = Ccoskacoskt+Csenkasenkt = Ccosk( t-a).