Dado un punto arbitrario en la esfera unitaria, especificado por sus coordenadas terrestres (lon, lat) se desea llevar este punto al polo norte, es decir se debe mover la tierra hasta que el punto especificado adquiera la posición (0,0,1) en coordenadas rectangulares. Esto cambia la posición de todos los puntos en la superficie de la tierra y el primer problema a resolver es determinar las coordenadas de cada punto de la tierra luego de haber cambiado el polo norte.
El primer problema consiste entonces en que dadas las coordenadas (rectangulares) (x,y,z) de cualquier punto sobre S2, se desea obtener las coordenadas (x¢¢, y¢¢, z¢¢) que le corresponden a ese punto luego de rotar la esfera tanto como sea necesario, a fin de que un punto dado arbitrario de coordenadas terrestres (lon, lat) (longitud y latitud respectivamente) quede en la posición que le correspondía al polo norte (0,0,1).
Se ha dicho "rotar" la esfera porque justamente es eso lo que hay que hacer para llevar el punto elegido al polo norte, el centro de la esfera no cambia de posición y tampoco cambia el tamaño o la forma de la esfera. De hecho para llevar el punto (lon, lat) al polo norte se requiere hacer dos rotaciones en direcciones mutuamente ortogonales: una que lleve el punto sobre el meridiano de Greenwich1 y otra que lo suba al polo norte.
Como lon es la magnitud del ángulo que forma el punto con el meridiano de
Greenwich, entonces la primera rotación debe ser de -lon grados
(-[(p)/180] lon radianes) alrededor del eje z, es decir es una
rotación del plano xy. Aplicar la rotación es, esencialmente, multiplicar cada
vector de la esfera (x,y,z) por la matriz:
| (1) |
Usando que sen(-q) = - sen(q) y cos(-q) = cos(q) y
multiplicando la matriz 1 por el vector (columna) (x,y) se
obtienen las ecuaciones:
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El punto (x,y,z), luego de la primera rotación, queda en la posición (x¢, y¢,z¢). Ahora es cuando se debe aplicar la segunda rotación.
Dado que el ángulo que forma el punto original (x,y,z) (y de hecho también (x¢,y¢,z¢)) con el ecuador es lat, para mover el punto al polo norte se debe aplicar una rotación de 90-lat grados alrededor del eje y, es decir, es una rotación del plano xz. La expresión en radianes del ángulo de rotación es: ar = [(p)/180] (90-lat) y la matriz que expresa dicha rotación es:
| (3) |
De donde se obtienen las ecuaciones:
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Con esto el primer problema queda resuelto. Dado un punto cualquiera que se desea llevar al polo norte (lon, lat), las coordenadas de cualquier punto sobre la esfera unitaria (x,y,z) se transforman en las coordenadas (x¢¢, y¢¢,z¢¢) dadas por el sistema de ecuaciones 4. Esto significa, por supuesto que hay que aplicar también el sistema 2, es decir, hacer la composición de las dos transformaciones lineales expresadas por las matrices 1 y 3.
1Se ha elegido éste por ser el más sencillo de manipular, pero esto es arbitrario.