Conclusiones

La cuadratura de la parábola discutida en nuestra última sección constituye, quizás, el primer descubrimiento del joven Arquímedes y es, en sí mismo, un acontecimiento revolucionario. Su significado pleno sólo pudo ser apreciado gradualmente. Arquímedes presenta dos pruebas geométricas de este hecho, una con un paralelogramo y otra con un rectángulo. Siguiendo este último método Cavalieri (en 1630) logra "cuadrar" parábolas de la forma no sólo y = x², como es el caso de Arquímedes, sino y = x³, y = x⁴, y = x⁵,..., y = x^k, hasta k = 9. En cada caso, respectivamente, obtuvo los valores: 1/4, 1/5, 1/6 ...y 1/10 para k = 9. Concluyó, como era de esperarse, que para k =10 obtendría 1/11. Pero no. Esta fórmula presentó un problema nuevo que ya no pudo manejar. El resultado general cuando k es un entero arbitrario fue obtenido por Fermat alrededor de 1650.

No obstante, ¿era necesario suponer que k es un entero? Cuando k no es un entero -usando notación moderna- el problema equivale a encontrar la derivada de la función

y = xⁿ, en x = 1.

Fermat supo también cómo resolver este problema. Sabía mucho ya de lo que sería el cálculo diferencial. Justo en esta época (1647), el padre jesuita Gregorio San Vicenzo, al calcular áreas bajo hipérbolas, muestra que éstas tienen relación con los logaritmos de Napier y casi imperceptiblemente el curso de los descubrimientos tomó un rumbo nuevo. De haberse comenzado con la determinación de áreas en general, (recordemos la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates al intentar cuadrar el círculo) se llega al estudio de casos muy especiales de áreas: aquéllas cuyas fronteras estaban delimitadas por líneas rectas tanto a los lados como por debajo y, por una curva arbitraria en la parte superior. Eran figuras en un plano con forma de caja. Este hecho se expresa de manera sistemática en los teoremas de Cavalieri. Es aquí que entra en escena, no sin dificultades, el concepto función. Hubieron de pasar muchas décadas antes de que este concepto estuviera desarrollado algebraicamente con suficiencia para permitir a Leibniz introducir el concepto y el símbolo de lo que ahora conocemos como la integral definida. Tal fue el resultado que alcanzó aquello que se iniciara con la cuadratura de la parábola de Arquímedes. Lo que hemos discutido en Curvas Maravillosas, contiene los gérmenes de las ideas que llevaron a la invención del cálculo diferencial e integral.

La Invención del Cálculo

Haremos, en lo que sigue, un poco de historia, más que por la historia misma, con la intención de iluminar el desarrollo del pensamiento matemático. Independientemente de su historia, las verdades matemáticas son inmutables y el organizar estas verdades en nuestras mentes, nuestra relación con ellas y el uso que hacemos de las mismas puede en realidad afectarse al reconocer su adecuado ordenamiento en el tiempo. Dijimos que Fermat conoció algunas partes del cálculo diferencial así como soluciones de ciertos problemas inversos. Supo también de algunas integrales. Por su parte, Gregorio San Vicenzo descubrió relaciones entre integrales y funciones que, si bien no fueron notadas sino hasta después de su publicación, involucraban las propiedades de los logaritmos.

Isaac Barrow, en 1667, descubre y prueba que la diferenciación y la integración son operaciones inversas, es decir, prueba de manera admirable el Teorema Fundamental del Cálculo. Aquí tenemos que reconocer que Galileo había anticipado esta relación al estudiar y graficar sus experimentos sobre el movimiento; en sus razonamientos estaba la esencia del descubrimiento y prueba de Barrow. Si Arquímedes habría sido el descubridor de todo esto, lo hubiera encontrado como lo hizo Galileo y probado como lo hizo Barrow, derivándolo de suposiciones explícitas e inequívocamente formuladas. Pero Arquímedes carecía del lenguaje algebraico.

Con Barrow queda establecida la conexión entre la teoría de integrales definidas por un lado, y el cálculo diferencial por el otro. En su libro Lectiones opticae et geometricae de 1669 desarrolló una gran cantidad de teoremas del cálculo diferencial que Fermat conoció veinte años antes, sin nunca publicarlos, terreno que fue preparado por muchos otros matemáticos (como Galileo, Torricelli, Cavalieri, Roverbal, Pascal). En gran medida Barrow es realmente el descubridor del cálculo. Sabía de la casi totalidad de las reglas de derivación y podía tratar muchos problemas de "tangente inversa" (ahora diríamos integrales indefinidas). Surge la pregunta ¿por qué entonces no se acredita a Barrow como el descubridor del cálculo diferencial e integral y no a Newton y Leibniz entre quienes surgió aquella amarga disputa de por vida sobre su prioridad? ...Había algo que faltaba en el trabajo de Barrow y eso no tenía nada que ver con falta de conocimiento. En el prefacio de su libro reconoce la ayuda de su estudiante Isaac Newton.

Barrow era un teólogo pero al enfrentarse a problemas con el calendario y la cronología bíblica, se interesó en la astronomía y como ésta no podía entenderse sin matemáticas, comenzó a estudiar a Euclides y otros matemáticos griegos y, eventualmente, se convirtió en investigador y profesor de matemáticas. Pero entonces algo pasó: después de haber publicado su libro que contenía todos sus descubrimientos, renunció a su cargo dejando su trabajo en manos del joven Newton. Volvió a su carrera clerical en circunstancias humildes, al principio, pero gradualmente escalando a puestos de dirección en la Iglesia Anglicana y posponiendo para sus ratos libres el estudio de Euclides y otros antiguos. Mientras tanto, Newton se avocó a desarrollar el cálculo infinitesimal en varias direcciones. Lo relacionó con la teoría de series infinitas en donde él hizo sus primeros descubrimientos aunándolos al de la teoría de la gravitación. Pero en su publicación sobre esta ley evitó el cálculo infinitesimal y no publicó nada sobre el cálculo mismo. Un manuscrito sobre el tema le fue entregado a su amigo Collins, en Londres. El joven Leibniz, estudiante de Huygens, estaba en Londres en 1676; vio el manuscrito de Collins y tomó notas de él. Leibniz tenía ya entonces mucho conocimiento del cálculo diferencial cuyas primeras sugerencias había encontrado en Pascal. Pero su concepción propia de los diferenciales era algo burdo y no riguroso. El tampoco publicó nada por un buen rato. Solamente cuando después de años y años en los que Newton no publicó nada, Leibniz publicó sus resultados en 1684. Mucho después, rebasado el año de 1700, tuvo lugar esa infortunada disputa por la prioridad misma que amargó los últimos años de ambos hombres. Fue conducida por los discípulos de ambos con la mayor de las vehemencias como si se tratara de una rivalidad a nivel nacional que estuviera sustentada por motivos políticos. Newton era un miembro de la Casa de los Lores con presencia pública y aun cuando no tenía actividad política, era un "Tory". Por otro lado, Leibniz estaba muy activo políticamente al servicio del rey de Hannover quien ambicionaba influir en Inglaterra a través del partido "Whig". Pero a nosotros solamente nos interesa la sustancia de aquella disputa. Los descubrimientos básicos sobre el cálculo pueden encontrarse, como dijimos, en el trabajo de Barrow de 1669. No obstante, el público matemático había aprendido el nuevo cálculo y había trabajado con sus diferenciales en la forma publicada por Leibniz. De hecho, el público matemático se dio por enterado sólo a través de sus publicaciones. Antes de éstas, resolver problemas de tangentes, o peor aún, problemas de "tangente inversa" habían sido un arte difícil de dominar. Sin embargo ahora casi cualquiera podía aprender estas reglas directas y sencillas; este "cálculo". Cuando todo esto empezó a navegar con la bandera de Leibniz, los matemáticos ingleses recordaron que Barrow y Newton habían poseído los conocimientos con anterioridad. Así que la batalla comenzó. Lo que sobre ella aquí nos importa es saber dónde estaban sus raíces. Estaban en el desarrollo de las matemáticas como un todo, especialmente en el desarrollo del concepto función.

En el origen del concepto de número, además de las matemáticas griegas, las cuales eran geométricas en forma, se desarrollaron las matemáticas computacionales de los hindúes y los babilonios y durante la edad media, por la época en que los arábes eran los guardianes de la tradición cultural, ambas clases de matemáticas comenzaron a amalgamarse. Cuando el oeste desde 1250 y, más específicamente, en el siglo 16, asumió el liderazgo, relegó la geometría y el arte de calcular a un capítulo aparte; parcialmente fusionado y parcialmente confuso.

En una etapa posterior del conocimiento matemático Viète desarrolla el álgebra y Descartes, la geometría analítica. Una gran parte de la geometría griega se hizo entonces computacional. Pero Descartes deliberadamente se contuvo de extender su método al total de las matemáticas griegas; el no tocó el proceso del infinito. Recayó sobre la generación que lo sucedió crear a partir de este problema la rama de las matemáticas que ahora llamamos "análisis" (este nombre es una extraña e inaceptable transferencia a un término que nada tiene que ver con su significado original -una contraparte a la construcción y prueba en problemas de construcciones geométricas). Surge ahora el concepto de función y se origina en dos formas distintas; la dicotomía es relevante para la comprensión de su desarrollo posterior. Se origina como un concepto de función geométrica por un lado y como un concepto de función computacional, por el otro. Encontramos en Galileo y Cavalieri y, en su forma más pura, en Barrow, los gérmenes del concepto de función geométrica. La función es una abstracción obtenida de modelos mecánicos y geométricos que incluye a ambos bajo una generalización conceptual; la función se concibe como una regla la cual asigna a cada x en un intervalo a ≤ x ≤ b un número y = f(x). El concepto función el cual, por otro lado, se desarrolla en la teoría de las ecuaciones de Viète y en la geometría de Descartes, es el concepto de función como una herramienta computacional; un concepto más limitado que el de función geométrica. Los polinomios, las funciones racionales, los radicales, las series infinitas -en tanto no se preste mucha atención a la cuestión de convergencia- eran de aplicabilidad incierta y, en casos discutibles, construidas de manera limitada. Este es el concepto de función computacional. Los "indivisibles" de Cavalieri eran, evidentemente de validez dudosa en tanto se usaran en conexión con el concepto de función geométrica en general; como "diferenciales" se hicieron muy útiles en las manos de un gran número de matemáticos que usaron el limitado concepto de función computacional. Son necesarios solamente cuando se trata con el concepto más amplio posible de una función diferenciable. Dada una expresión puramente computacional, se puede incursionar con seguridad en el campo de los diferenciales; este fue el desarrollo que se estableció en 1640. Gregorio San Vicenzo y Christiaan Huygens todavía pensaban a la manera de los griegos antiguos; Barrow se vio atrapado por la corriente del concepto de función computacional y trató de ajustarlo al modo de pensar griego. Newton nació pocos años después de Barrow pero pertenecía a la nueva generación de la expresión computacional. Es extraño el significado que hay por el año de su nacimiento. De hecho, reconocer el significado de "las generaciones", que debemos a la historia del arte, es de suma importancia para entender la historia de las matemáticas. El caso anterior es un ejemplo notable de ello. Lo que Newton absorbió desde el principio permaneció ajeno a Barrow por el resto de su vida: el giro del concepto de función geométrica al de función computacional; el giro de los confines del arte griego de la prueba a la fácil flexibilidad de los indivisibles. En una página de su trabajo Barrow alude brevemente a estos asuntos pero, rápidamente, como si estuviera horrorizado, los deja de nuevo. De aquí que la línea fronteriza que lo separa de sus sucesores, resida en la distribución del énfasis. Cierto es que Barrow descubrió el teorema fundamental pero, ¿qué hizo con el? En principio se pueden hacer dos cosas con él: podemos usar integrales definidas conocidas como

para derivar de ellas integrales indefinidas

o podemos usar integrales indefinidas conocidas para obtener integrales definidas de acuerdo con el teorema fundamental. Barrow hizo más de lo primero que de lo último. En especial, la prueba de la existencia de la integral indefinida se deduce de la existencia de la definida -una prueba de existencia que aún es válida en matemáticas modernas-. Pero solamente sus seguidores descubrieron la gran facilidad con la que se podían obtener las integrales indefinidas de expresiones algebraicas. Es este desarrollo el que tomamos como el punto inicial de nuestra discusión. Esto había sido comprendido solamente por la nueva generación: Newton y Leibniz y, de los dos, sin duda Leibniz hizo esto con mayor facilidad e ingenuidad que Newton. El teorema fundamental se vio sujeto a un cambio de énfasis que alteró su significado mismo. Barrow tuvo el teorema pero para él no fue la herramienta que usamos hoy en día. Podemos especular que es algo absurdo para la disputa de la prioridad haber enfrentado a Newton y Leibniz y no a Barrow y sus sucesores. El mismo Barrow había cedido los honores. Fue el cambio de generación lo que parece haber estado en la razón subconsciente que motivó su renuncia. En sus horas de esparcimiento leyó solamente a los griegos -lo que explica la situación. Newton tenía todas las razones para argumentar en contra de Barrow. Si Newton y Barrow hubieran sido de nacionalidad diferente, más que Newton y Leibniz, la disputa podría, posiblememente, haberse dado entre los discípulos de Barrow y los de Newton. Objetivamente, sobraban razones para ello.

El veredicto del comité de investigación que fue citado por la Real Academia (y del que Newton era uno de sus miembros) de acuerdo al cual Leibniz había plagiado todo, es absurdo. La forma del cálculo de Leibniz con su sencilla flexibilidad, tenía tal perfección que no podía sino haberse concebido como un todo en una gran visión y de manera independiente. Esto también puede establecerse de sus notas y cartas. Solamente es problemático en su relación con el teorema fundamental. Si más tarde la disputa se desvió hacia direcciones completamente distintas, fue porque la gente no pudo presentar el papel del teorema fundamental como se debe; como lo hizo Félix Klein en un curso que dio en Gotinga, por ejemplo. De la evidencia existente no es posible concluir si Leibniz reconoció el teorema fundamental y lo tradujo a su propia notación o si realmente lo descubrió. La prioridad es, por supuesto, de Barrow. El cambio de énfasis en este teorema, como dijimos, es de Newton y Leibniz. Pero la forma en que ese cambio se efectuó, la forma clara y perfecta de la independencia de Leibniz en este aspecto, no puede dudarse; ninguna prueba es necesaria.

Así que el debate sobre la disputa, que llega hasta nuestros días, adolece de una falta de comprensión matemática, la cuestión se presenta de manera equivocada. Y es por esto que puede esperarse que el análisis de la disputa presentado aquí, haya contribuido a nuestra propia comprensión.

El concepto de función computacional domina a través del siglo 18 y celebró sus triunfos en los grandes descubrimientos de Euler, los Bernoullis, Lagrange y otros. Cuando Fourier, alrededor de 1820 y presionado por las necesidades de la física, trae de nuevo a escena el concepto de función geométrica -el concepto de "la función arbitraria"- la diferencia entre los dos se evidenció claramente. En esta ocasión fue "la generación vieja": Cauchy, Poisson, Laplace, etc. la que apoyó el concepto de función computacional y la que atacó las series de Fourier las cuales representan funciones con un brinco, funciones que siguen leyes distintas a la izquierda y a la derecha de tales brincos. Pero la nueva generación resultó victoriosa y sin darse cuenta, retomó el hilo donde Barrow lo había dejado. Fue necesario todo el siglo diecinueve para desarrollar ambos conceptos en su totalidad; tanto de manera conjunta como independiente uno del otro. Cada uno de acuerdo a su peculiaridad. En la actualidad tenemos ambos a la disposición, los usamos separados o en interpretación conjunta. El estudiante debe estar muy atento a mantenerlos separados ya que los libros de texto, más que acentuar sus diferencias, tienden a empañarlas.