2  Cubriendo el plano con polígonos regulares diferentes


Es posible cubrir también el plano con polígonos regulares pero sin usar de un solo tipo, sino combinando diversas formas de loseta.
De la ecuación 1.3 sabemos cuánto mide el ángulo interior de un polígono regular de n lados. Ahora lo que pretendemos es juntar, alrededor de cada vértice del enlosado, 3, 4, 5 y hasta 6 polígonos regulares de distintos tipos (con distinto número de lados). Esto puede expresarse como:
æ
è 		n1-2
n1
 + n2-2
n2
 + n3-2
n3
 ö
ø 		p = 2  p
æ
è 		n1-2
n1
 + n2-2
n2
 + n3-2
n3
 + n4-2
n4
 ö
ø 		p = 2  p
æ
è 		n1-2
n1
 + n2-2
n2
 + n3-2
n3
 + n4-2
n4
 + n5-2
n5
 ö
ø 		p = 2  p
æ
è 		n1-2
n1
 + n2-2
n2
 + n3-2
n3
 + n4-2
n4
 + n5-2
n5
 + n6-2
n6
 ö
ø 		p = 2  p

La primera de estas ecuaciones se transforma en:
1- 2
n1
 + 1- 2
n2
 + 1- 2
n3
 = 2
de donde:
3-2 = 2
n1
 + 2
n2
 + 2
n3

Si hacemos algo similar con las demás, obtenemos las siguientes ecuaciones:
1
n1
 + 1
n2
 + 1
n3
 = 1
2
(2.10)
1
n1
 + 1
n2
 + 1
n3
 + 1
n4
 = 1
(2.11)
1
n1
 + 1
n2
 + 1
n3
 + 1
n4
 + 1
n5
 = 3
2
(2.12)
1
n1
 + 1
n2
 + 1
n3
 + 1
n4
 + 1
n5
 + 1
n6
 = 2
(2.13)

Las soluciones a estas ecuaciones están en la tabla 2.2. Las soluciones 10, 14 y 17 son las que analizamos en la sección anterior y las soluciones 1, 2, 3, 4, 6 y 9 se pueden llevar acabo sólo en un vértice aislado, pero el resultado no se puede extender a todo el plano, así que no nos sirven. Por su parte la solución 11 no se puede implantar por sí sola, requiere combinarse con 5 o con 15 para llevarse a cabo. Los resultados útiles están listados en la tabla 2.3.

Así que hay, esencialmente, sólo ocho posibles formas de hacer un enlosado que cubra el piso completamente, usando losetas de forma regular de distintos tipos. Los resultados de la tabla 2.3 se encuentran ilustrados en la figura 2.3.
No. n1 n2 n3 n4 n5 n6
1 3 7 42      
2 3 8 24 .  .  . 
3 3 9 18      
4 3 10 15      
5 3 12 12      
6 4 5 20      
7 4 6 12      
8 4 8 8      
9 5 5 10      
10 6 6 6      
11 3 3 4 12    
12 3 3 6 6    
13 3 4 4 6    
14 4 4 4 4    
15 3 3 3 4 4  
16 3 3 3 3 6  
17 3 3 3 3 3 3
Tabla 2.2: Conjunto de soluciones a las ecuaciones 2.10-2.13

No. n1 n2 n3 n4 n5
5 3 12 12    
7 4 6 12    
8 4 8 8    
11 3 3 4 12  
12 3 3 6 6  
13 3 4 4 6  
15 3 3 3 4 4
16 3 3 3 3 6
Tabla 2.3: Conjunto de soluciones útiles que sí construyen enlosados que cubren el plano


Figura 2.3: Las ocho formas de cubrir el plano con losetas regulares de distintos tipos.

Aunque no estamos muy acostumbrados a ello, estos enlosados sí han sido usados para cubrir pisos y muros. Basta echar una ojeada a los exquisitos trabajos arquitectónicos árabes de la edad media, como la Alhambra o a algunas construcciones romanas edificadas en Europa y medio oriente durante el imperio.