Una costa es algo irregular, se curva a veces mucho, hay pedazos más rectos que otros, bahías chicas y grandes, hay desembocaduras de ríos, entre muchas otras cosas. Una manera de medirla es usar un mapa o una fotografía aérea y medir la costa en el mapa. Esto se puede hacer por ejemplo de la siguiente manera:
Se usa un compás que se abre a cierta distancia r, por ejemplo r=2cm. Para obtener una idea aproximada de la longitud de la costa bastaría con contar cuántas veces cabe el compás a lo largo de la costa y multiplicar este número por la escala del mapa. Para obtener mediciones más precisas se puede escoger una abertura del compás menor, por ejemplo r=1cm y repetir el proceso.
Así se obtiene la longitud de la costa en el mapa, pero en realidad ciertos detalles no aparecen en el mapa (como bahías chicas). Entonces podríamos usar un mapa a mayor escala que muestre más detalle:
El mapa a mayor escala muestra más detalles y por lo tanto obtenemos una longitud mayor. Pero el argumento se puede repetir y podríamos pensar en un mapa a una escala 1:1 y medir ahí. Sin embargo tendríamos aún en este mapa irregularidades no consideradas.
Obtendremos una longitud cada vez mayor cada que aumentamos la precisión de la medición. La pregunta es: ¿se acercan los valores crecientes que obtenemos a un valor "verdadero" o estos valores siguen creciendo hacia el infinito?
En realidad no podemos proceder siempre con una precisión mayor. Cuando medimos la porosidad de las piedras que tocan el agua, se acaba el sentido común de "medir la costa". Pero el fenómeno es interesante y se puede estudiar en el laboratorio de las matemáticas:
Tomamos ahora un fractal como por ejemplo la curva de Koch:
El fractal es la "línea" que está al final de todas estas imágenes. No es fácil imaginárnoslo, pero es una línea que es infinita en su extensión, pero enrollada en un terreno finito, ya que nunca nos salimos del círculo indicado:
La línea está tan enrollada que llena cierta área. En realidad hay fractales que podemos construir de esta manera que llenan un área dada por completo, ¡una línea que es área! Esas figuras son monstruos de líneas, se llaman "Curvas de Peano" o "Curvas de Hilbert", las hemos visto en la curva final.