Con la construcción recursiva de rectángulos áureos que ya presentamos podemos hacer algo todavía más interesante. Supongamos que hemos iterado el proceso de trazar cuadrados dentro de un rectángulo original unas cinco veces; es decir tenemos trazados cinco cuadrados dentro del rectángulo tal como se muestra en la figura.

  Ahora apoyamos un compás en el punto c₁, mostrado en la figura, y trazamos un cuarto de círculo inscrito en el cuadrado. Luego hacemos lo mismo apoyando el compás en c₂, c₃, c₄ y c₅. El resultado de esto, mostrado en la animación, es una aproximación a una curva, una espiral muy peculiar llamada espiral logarítmica.

   La espiral logarítmica es un objeto fascinante desde el punto de vista geométrico. Es también la curva descrita por un objeto que se mueve con velocidad angular y velocidad lineal constante. Si pusiéramos a una hormiga a caminar muy despacio y a velocidad constante sobre la aguja del segundero de un reloj, la trayectoria que veríamos sería una espiral logarítmica.

  Lo mejor de todo es que en la naturaleza hay cosas que crecen así, a velocidades constantes, simultáneamente hacia "afuera" y "alrededor" de algo. Es por eso que a la espiral logarítmica también se le suele llamar "espiral de crecimiento".

  Es posible trazar la espiral a través de un proceso de aproximaciones sucesivas como se muestra en la animación de abajo. Comencemos con un conjunto de rayos separados por un ángulo constante. Elegimos un punto cualquiera sobre uno de los rayos y cercano al centro. Trazamos una línea perpendicular al rayo que pase por el punto elegido; esto nos determina un punto sobre el rayo contiguo en el sentido de las manecillas del reloj (dextrógiro). Ahora trazamos nuevamente la perpendicular al rayo contiguo que pasa por el punto que acabamos de encontrar, así encontramos un tercer punto, ahora sobre el siguiente rayo. Si continuamos el proceso habremos trazado una aproximación a la espiral. Cuanto mayor sea el número de rayos mejor será nuestra aproximación.

  La elegante belleza y curiosas propiedades de la espiral logarítmica han fascinado a más de un estudioso a lo largo de la historia. Jacobo (James) Bernoulli, uno de los miembros de la familia de célebres matemáticos de los siglos XVII y XVIII, ordenó que la espiral fuera labrada en la lápida de su tumba.

  Otro problema interesante en el que está involucrada la espiral logarítmica es el de las hormigas enamoradas y mal correspondidas, aunque para comprender cabalmente su solución se requiere de cálculo diferencial e integral.