2.2  Puntos periódicos ("voy y vengo'').

Cuando alcanzamos el valor r=0.75 comienza a ocurrir algo interesante. El punto fijo, que resulta ser 2/3 = 0.666..., es estable, atrae a los puntos vecinos, de hecho a todo el intervalo [0,1] hacia él, pero muy despacio. Si probamos con valores de r menores a 0.75 veremos la diferencia, casi siempre la órbita se acerca rápidamente al punto fijo estable, con r=0.75 en cambio damos varias vueltas alrededor del punto en nuestra telaraña (ahora se entiende por qué suele llamarse así) antes de caer en él.

Exploración.
Prueba en el programa
Sección Iteradas.

  1. Iterada = 1, r = 0.75, x0 = 0.5
  2. Iterada = 1, r = 0.75, x0 = 0.8

constata el comportamiento descrito.


La cosa se pone aún más drástica con r=0.8 entonces el punto fijo distinto de cero, a saber, 0.6875 (aproximadamente), deja de ser estable. Ahora los puntos cercanos a él no se le acercan. Si experimentamos con diferentes valores de x0 nos percataremos de que, luego de algunas iteraciones, sólo obtenemos alternativamente, dos valores, aproximadamente x = 0.7994 y x = 0.513.

Cuando un punto de una órbita tiene la propiedad de que xt = xt+k, es decir, luego de k pasos temporales el sistema dinámico regresa a él, se dice que el punto es periódico. Así que los puntos x = 0.7994 y x = 0.513 son periódicos para r=0.8. Como hay que esperar dos pasos temporales para regresar a cada uno de ellos diremos que tienen periodo 2.


Exploración.
Prueba en el programa
Sección Iteradas.

  1. Iterada = 1, r = 0.8, x0 = 0.5
  2. Iterada = 1, r = 0.8, x0 = 0.8

deja correr un tiempo el programa, cuando aparentemente las cosas ya no cambian presiona el botón pausa y luego continua, la traza de la órbita habrá cambiado de color y podrás seguir observando un rectángulo, los vértices superior izquierdo e inferior derecho están en los puntos periódicos. Puedes repetir la operación de cambio de color con pausa y continua cuantas veces quieras.

Si denotamos con f(x) a nuestra función, es decir f(x) = 4 (0.8) x (1-x), el hecho de que un punto, digamos w1 sea periódico de periodo 2, significa que al aplicar la función f al resultado de aplicar la misma función al punto w1 lo que obtenemos es nuevamente w1. Podríamos abreviar y denotar con f2 la aplicación de f al resultado de aplicar f, es decir: f2(x) = f(f(x)). Esto formalmente es la composición de f consigo misma. Ahora podemos decir que el punto w1 es de periodo 2 porque f(f(w1))=w1, es decir: f2(w1) = w1, lo que significa que si consideramos a la función f2 en vez de a f tenemos que w1 es punto fijo de f2.

Exploración.
Prueba en el programa
Sección Iteradas.

  1. Iterada = 2, r = 0.8, x0 = 0.3
  2. Iterada = 2, r = 0.8, x0 = 0.4
Observa a qué punto tienden las iteraciones. La segunda iterada de la función logística es la composión descrita arriba, así que los puntos periódicos de f(x)  son puntos fijos estables de la segunda iterada f2(x).

Para r=0.85 tenemos el punto fijo xf = 0.7058 que es también inestable y además los puntos de periodo dos: w1=0.8421 y w2=0.4519. En la tabla 2.2 se muestran algunos otros resultados.


Puntos periódicos
r w1 w2
0.8 0.7994 0.513
0.85 0.8421 0.4519
0.86 0.8485 0.4422
Tabla 2.2: Valores aproximados de los puntos periódicos para las funciones logísticas determinadas por el parámetro r.

Exploración.
Prueba en el programa
Sección Iteradas.

  1. r entre 0.75  y  0.8 62 con distintos valores de x0.
alterna entre la primera y segunda iterada.