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Población
de bacterias, vista a través del microscopio. Imagen
tomada de CMBA
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Una colonia de bacterias se reproduce durante las primeras horas con una tasa de crecimiento de 50% por cada hora, si a las 12:00 hay 10000 bacterias en el cultivo, ¿cuántas habrá a las 13:00?, ¿a las 14:00?, ¿15:05?, ¿15:20?
La respuesta a las dos primeras preguntas es muy sencilla: como a las 13:00 horas ha transcurrido una hora desde las 12:00, habrá 50% más bacterias, es decir,
10000(1.5) = 15000 bacterias
A las14:00 horas ha
transcurrido 1 hora desde las 13:00, así que habrá 50% más
bacterias de las que había a las 13:00, es decir,
15000(1.5) = 22500 bacterias
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Un error común es pensar que en dos horas hay 2(50%) = 100% más bacterias, es decir, 20000 bacterias. |
Para saber cuántas bacterias hay a las 15.05 y a las 15:20 tenemos que hacer un análisis más detallado.
Llamemos t al tiempo, medido en horas, transcurrido desde las 12:00 horas y P(t) a la población de bacterias en el instante t. Tenemos entonces que P(0) = 10000, P(1) = 15000, P(2) = 22500.
El hecho de que la población crezca a una tasa de crecimiento constante q = 0.5, significa que para la primera hora:
| 0.5 | = |
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= |
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para la segunda hora
| 0.5 | = |
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= |
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y en general
| 0.5 | = |
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= |
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Las tres igualdades anteriores pueden escribirse como:
P(1) = P(0)(1+0.5)
P(2) = P(1)(1+0.5)
P(t) = P(t-1)(1+0.5)
Si sustituimos el valor de P(1) de la primera ecuación en la segunda, obtenemos
P(2) = P(0)(1+0.5)2
para la siguiente hora tendríamos
P(3) = P(0)(1+0.5)3
y si continuamos de esta manera, llegamos a
P(t) = P(0)(1+0.5)t
Se puede ver que esta fórmula es válida para todos los números reales y no únicamente para valores enteros.