3  Generando el mapa

Ahora habrá que generar el mapa que corresponde a esta nueva posición de la tierra. Para ello se utilizará la proyección cilíndrica usual. Es decir, se envuelve la tierra con un cilindro tangente en el ecuador y se proyectan todos los puntos de la esfera sobre el cilindro usando siempre rayos paralelos al plano xy (el ecuador) y que se intersectan (perpendicularmente) con el eje z. Esto se ilustra en la figura 1.

Figura 1: Proyección cilíndrica convencional.

Convenientemente se supondrá que la longitud (circunferencia) del cilindro es 2p y que su altura es 2. Sobre la superficie del cilindro se tendrá un punto de origen, aquel donde convergen el meridiano de Greenwich y el ecuador, los puntos por arriba del origen (hemisferio norte) tendrán coordenada y (sobre la superficie del cilindro) positiva, los de abajo negativa. Los puntos a la derecha del origen (hemisferio oriental) tendrán coordenada x positiva y los que estén a la izquierda (hemisferio occidental) la tendrán negativa. Evidentemente la continuidad se pierde en el punto antípoda del origen.

La coordenada horizontal sobre la superficie del cilindro (con el cilindro extendido) que corresponde a un punto sobre S² de coordenadas (x,y,z) es, de hecho, la longitud de dicho punto en coordenadas terrestres, es decir, la longitud del arco que va del origen hasta el meridiano que pasa por el punto (véase figura 2).

Figura 2: Proyección en el plano xy.

Considerar todo como vectores facilitara la manipulación. Se debe calcular la longitud del arco (es decir la medida del ángulo en radianes) que forma el punto (x,y,z) sobre la esfera (realmente el meridiano que pasa por el), con el origen. Para esto primero se debe calcular la proyección del vector (x,y,z) sobre el plano xy. La magnitud de esta proyección es cos(asen(z)). Esta es la magnitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo que se forma en el plano xy con catetos x y y, así que la longitud del arco es el tamaño del ángulo en radianes que forma esta hipotenusa con la componente x del punto, es decir: acos([(x)/(cos(asen(z)))]). En síntesis, la coordenada horizontal sobre el cilindro h es:

h = acos æ è  x cos(asen(z)) ö ø

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Para determinar la coordenada vertical sobre el cilindro habrá que considerar lo que ocurre en el plano determinado por el rayo de proyección y el vector del punto (véase figura figura 3). Este caso es muy sencillo, la coordenada vertical sobre el cilindro es exactamente la misma que la coordenada z del punto. Así que, si se denota con v a la altura sobre el cilindro que le corresponde al punto:

v = z

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Figura 3: Determinación de la coordenada vertical sobre el cilindro.

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On 14 Jan 2002, 19:02.