2.1  Puntos fijos.

Ha llegado el momento de comenzar a explorar nuestra familia de funciones logísticas. Cabe resaltar que tenemos una función diferente por cada valor del parámetro r que escojamos en la expresión 1.7, cada una con un comportamiento potencialmente diferente. Sin embargo toda la familia comparte características comunes, por ejemplo todas las funciones alcanzan una altura máxima igual al valor del parámetro r y esta altura es alcanzada exactamente en x=0.5, a la mitad del intervalo que constituye el dominio de la función, además las funciones son siempre simétricas respecto a la recta vertical que pasa por este punto.

Comencemos con un valor r=0.2 en este caso la función logística no llega muy alto, ni siquiera pasa por arriba de la recta identidad y=x. Si escogemos un punto cualquiera del intervalo [0,1] y lo seguimos a lo largo de su órbita veremos que muy pronto cae en el origen, es decir x=0, como la expresión 1.7 entrega el valor cero cuando se le da como argumento el cero entonces ya no ocurre nada interesante. No importa qué valor inicial x₀ escojamos, la órbita tarde o temprano se convertirá en una monótona secuencia infinita de ceros.

Exploración.
Prueba en el programa
Sección Iteradas.

1. Iterada = 1, r = 0.2, x₀ = 0.1
2. Iterada = 1, r = 0.2, x₀ = 0.5
3. Iterada = 1, r = 0.2, x₀ = 0.8
   

constata el comportamiento descrito.

Cuando un punto en el dominio de la función es mapeado por ésta en él mismo, se dice que es un punto fijo. Así que el cero es un punto fijo de todas las funciones de la familia logística.

Un poco más interesante es lo que ocurre cuando r=0.3. En este caso la gráfica de la función sigue siendo "chaparra'', no rebasa el 0.5 de altura, sin embargo ya cruza la recta identidad en x=0.1666..., lo que significa que de hecho este es un punto fijo además del consabido x=0.

Si escogemos un valor cualquiera en el intervalo [0,1] como x₀ e iteramos la función para obtener su órbita nos percataremos de que, sin importar que punto hayamos elegido, tarde o temprano caemos en el punto fijo x=0.1666..., así que además de ser un punto fijo es también una especie de "punto de atracción''.

Exploración.
Prueba en el programa
Sección Iteradas.

1. Iterada = 1, r = 0.3, x₀ = 0.1
2. Iterada = 1, r = 0.3, x₀ = 0.5
3. Iterada = 1, r = 0.3, x₀ = 0.8
   

constata el comportamiento descrito.

Cuando podemos encontrar un conjunto de puntos alrededor de un punto fijo, tales que al iterar el sistema partiendo de cualquiera de ellos, la órbita se acerca cada vez más al punto fijo, decimos que éste es un punto fijo estable. Si, por el contrario, la órbita de cualquier punto alrededor del punto fijo se aleja de él, decimos que es un punto fijo inestable. Así que nuestro punto fijo x=0.1666... es estable, mientras que el cero, que siempre es punto fijo, es ahora inestable.

Si hacemos r=0.4 entonces el punto fijo distinto de cero se convierte en x=0.375, que también resulta ser estable. En la tabla 2.1 se muestran los valores del punto fijo distinto de cero para diferentes valores de r, todos los asociados con valores de r menores (o iguales) a 0.75 son estables, de los demás hablaremos a continuación.

Exploración.
Prueba en el programa
Sección Iteradas.

1. Iterada = 1, r = 0.5, x₀ = 0.7
2. Iterada = 1, r = 0.6, x₀ = 0.7
3. Iterada = 1, r = 0.7, x₀ = 0.7
   

observa a qué valor tiende la órbita de x₀ .