Para tratar de entender la imposibilidad de construir p reconsideremos el planteamiento original del problema: ¿puede construirse un cuadrado de área igual a la de un círculo utilizando solamente regla y compás? ¿Qué podemos dibujar con regla y compás?: líneas rectas y círculos.

En el lenguaje del álgebra las líneas rectas significan ecuaciones lineales y los círculos, ciertas clases de ecuaciones cuadráticas. Cualquier cosa que pueda ser construida por medio de regla y compás, tendrá que ser una solución común con tales ecuaciones. Los matemáticos han probado que p (o Öp  ) no puede ser una solución de ninguna de tales ecuaciones. Más aún, de ningún tipo de ecuación, sin importar el grado.

Los geómetras griegos pudieron resolver geométricamente todas las formas de la ecuación cuadrática que tiene raíces positivas. De aquí que, cualquier problema "plano" que pudiera ser reducido al equivalente geométrico de una ecuación cuadrática con una raíz positiva, era resuelto de inmediato. Pero ellos entendieron que el problema de la cuadratura del círculo no era un problema plano, aunque no pudieron probarlo.

Dicho de otra forma, la pregunta es: ¿qué números son solución de ecuaciones de la forma

xⁿ + a_nx^n-1 + a_n-1x^n-2 +....+ a₀= 0     con   a₀, a₁,... , a_n?   ¿enteros o racionales? para n=1,2,...


¿Hay alguna ecuación de la cuál p sea solución? Detrás de todo esto lo que nos preguntamos es si p es uno de estos números, es decir, si p es algebraico. La respuesta, como ya dijimos, es no; un, no, rotundo.


Para el año 1840 ya se tenía más o menos claro un planteamiento como éste, pero no pudieron demostrarlo hasta muchos años después. La solución llegó en 1882, a través de

Ferdinand Lindemann (1852-1939), quien comprueba que p no es solución de ninguna ecuación algebraica; p es un número trascendental.

Nótese que lo que se demuestra no es que no se ha podido, sino que no se puede: nadie va a poder nunca porque no se puede resolver.

Sin embargo, todavía hay mucha gente intentando hacerlo....