Durante mucho tiempo se siguió trabajando en esta misma dirección, tratando de aproximar el valor de p por medio de construcciones geométricas, y no fue sino hasta el desarrollo del análisis matemático, en el s XVII, que se introdujeron otros métodos y lenguajes.

Entre los resultados interesantes encontramos, por ejemplo, los de un matemático francés

François Viète (1540-1603), el más grande del siglo XVI, a pesar de ser 'sólo un aficionado'. Es el primero en dar una serie infinita para p.

La base geométrica de la expresión en series para el número 2/p fue similar a la construcción arquimediana. Viète probó que si se inscriben dos polígonos regulares en un círculo, el primero con el doble del número de lados del segundo, entonces, el área del primero es a la del segundo como la cuerda suplementaria de un lado del primer polígono es al diámetro del círculo. Obtuvo así la razón del área de cada polígono a la del siguiente. Tomando el diámetro como unidad encontró que  

 3.1415926535 <p < 3.1415926537 

Él logró, con nueve cifras decimales, dar una muy buena aproximación al número p.

En 1596 el matemático alemán

Ludolph van Ceulen (1540-1610) calcula p con 20 cifras decimales correctas por medio del perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 515 396 075 520 lados.

Fue de origen muy humilde al grado que no recibió educación universitaria. En 1610 lo calcula con 35 decimales. ¿Puedes imaginarte cuánto tiempo invirtió en sus cálculos? En Alemania se conoce a p como el número Ludolfiano. Su trabajo se consideró tan extraordinario que los números se grabaron en su tumba (ahora perdida) en Leiden, Holanda.

René Descartes (1596-1650). Es el inventor de la geometría coordenada y consideró el problema de la cuadratura desde un punto de vista nuevo.

Para determinar el diámetro de un círculo a partir de una línea recta dada que sea igual a la circunferencia del círculo, propone cierta construcción (curiosamente, Arquímedes, a partir del radio del círculo, y con su espiral, encuentra esa línea recta). Su método es conocido como el proceso de las isometrías que equivale a trabajar con series infinitas y aproximaciones muy sofisticadas.

Thomas Hobbes (1588-1679) ¿Has oído hablar de Tomas Hobbes? no en su papel de matemático, es un filósofo muy famoso.

En 1678 demostró que:
         ___
p = Ö10     (@ 3.16227).

Tiene artículos publicados donde supuestamente resuelve el problema de la cuadratura del círculo y demuestra que p es ese número, pero por supuesto está equivocado, sin embargo, no era el ignorante en geometría como en ocasiones se supuso.

Para información sobre Hobbes y el tema la cuadratura del círculo en general, puedes consultar:

1. La cuadratura del círculo (En español).
2. Historia de p (En español).

Academia Francesa
La cuadratura del círculo fue y es un problema realmente muy popular y, tal vez, más popular entre no-matemáticos que entre matemáticos. La gente buscaba y sigue buscando soluciones a pesar de la imposibilidad de resolverlo exactamente. Para el año 1775 la Academia Francesa (Institución de científicos franceses que son la crema y nata de la ciencia francesa) prohibió la recepción de artículos que tuvieran que ver con la cuadratura del círculo, es decir, con el problema de determinar el valor de p. No sabían si se podría resolver o no, pero ya sabían que ese número no se podía escribir como el cociente de dos números enteros y no les interesaba leer más. Habían considerado cientos y cientos de soluciones de todo el mundo con resultados diferentes pero siempre estaban equivocadas. Poco después, la Royal Society de Londres siguió el ejemplo de los franceses. Fue un "hasta aquí" oficial a los cuadradores del círculo. No obstante...

Valor de p por legislación
La solicitud de decidir el valor de p legalmente fue hecha por un médico de nombre Edwin J. Goodwin en 1897, en Solitude, Indiana. Goodwin dijo haber llegado al valor exacto de p ¡por medios sobrenaturales!... Y, al igual que todos los "cuadradores" del círculo, Goodwin "también" trisecó el ángulo y duplicó el cubo. Lo que es peor: patentó sus resultados. En su trabajo presenta nueve valores distintos de p (el promedio de ellos es 3.28907).
Esta es la petición más extraña que se haya hecho jamás a la Asamblea de Indiana; por fortuna, pero no sin complicaciones, no se aprobó. El boletín fue pospuesto indefinidamente y nunca se convirtió en ley. El valor de p es una verdad matemática sobre la que las leyes civiles no operan. Buen ridículo hubieran hecho los legisladores; hubiera sido como dar la orden: ¡que el agua suba sola por un cerro!, por ejemplo.

Las fuerzas irracionales, como las de Goodwin y tantos otros, están siempre presentes; listas para derribar cualquier "torre de marfil". Lo que ha sobrado en esta historia de la cuadratura son personas que dicen haber encontrado el valor de p...