Además del conjunto de Mandelbrot tenemos, implícitamente, otros fractales cuyo aspecto puede ser obtenido también con el algoritmo de tiempo de escape. Son los denominados conjuntos de Julia, en honor al matemático francés Gaston Julia.
Para visualizar el conjunto de Mandelbrot nos paramos en cada uno de los posibles valores del parámetro c y lo coloreamos de acuerdo a la velocidad con la que "lanza" a los valores de z hacia el infinito. Lo que estamos viendo en el conjunto de Mandelbrot son los valores del parámetro c de la función 2.
Si ahora hacemos lo contrario: nos paramos en uno y sólo uno de los
valores de c y luego coloreamos a los distintos valores de z0
de acuerdo a la velocidad con la que son "lanzados" al infinito, es decir, coloreamos
a cada punto de la ventana visual, considerándolo como un valor inicial
z0, de acuerdo con la velocidad a la que su órbita
se aleja del origen, entonces obtenemos el conjunto de Julia asociado con un
valor particular de c.
Esto lo podemos hacer con
este programa: basta con colocar el apuntador del
ratón en una posición cualquiera de la ventana donde se exhibe
el conjunto de Mandelbrot y presionar el botón derecho del ratón.
Automáticamente será desplegado el conjunto de Julia asociado
al valor de c que corresponde al lugar donde se colocó el apuntador
del ratón.
También se pueden hacer ampliaciones sobre el conjunto de Julia. Ahora el botón Atrás regresa a la imagen previa del conjunto de Julia mientras que Atrás Mandelbrot regresa a la última imagen del conjunto de Mandelbrot.
Para cada valor de c tenemos entonces un conjunto de Julia diferente y hay tantos valores posibles de c como puntos en el conjunto de Mandelbrot, su frontera y su exterior. Hay entonces ¡una cantidad infinita e incontable de conjuntos de Julia! y el conjunto de Mandelbrot y sus alrededores son, de hecho, un catálogo de todos los posibles conjuntos de Julia. Cada vez que elegimos un punto arbitrario en la ventana gráfica del conjunto de Mandelbrot obtenemos un conjunto de Julia diferente. El conjunto de Mandelbrot no sólo es complejo por sí mismo, sino que además es un catálogo infinito de complejidades equiparables a la suya.
Hay que observar que los conjuntos de Julia asociados con los puntos interiores del conjunto de Mandelbrot son de "una sola pieza", lo que en matemáticas se dice conjunto conexo: siempre es posible ir de un punto del conjunto a cualquier otro trazando una curva sin pasar por puntos que no están en el conjunto. Conforme nos acercamos a la frontera del conjunto de Mandelbrot la conexidad se va perdiendo; el conjunto de Julia se va "pulverizando". Cuando alcanzamos un punto en la frontera del conjunto de Mandelbrot el Julia asociado es inconexo, está hecho de varias partes, infinitas partes también inconexas.
Lo que ocurre es que para un valor de c en el interior del conjunto
de Mandelbrot, los valores de z0 que no escapan están
agrupados en regiones que se van haciendo más pequeñas, se fracturan
cada vez más conforme nos acercamos a la frontera de Mandelbrot. Cuando
finalmente salimos de él, en cualquier región del plano complejo
de posibles valores de z0, por pequeña que sea, tenemos
todas las posibles velocidades de escape. Los conjuntos de Julia son fractales
con autosimilitud: encontramos copias a escala del conjunto repetidas infinitas
veces en sus partes.