3  El conjunto de Mandelbrot.

El conjunto de Mandelbrot habita en el plano complejo y está definido por la función:

f (z) = z 2 + c

(2)

tanto z como c son números complejos. z ² es obtenido como lo especifica la expresión 1. Esta ecuación se itera para un valor fijo de c. Es decir, dados un par de números complejos z₀ y c se obtienen: z₁ = z₀²+c, z₂ = z₁²+c,... z_i = z_i-1²+c,...

Esta sucesión de números complejos puede alejarse del origen (el número complejo (0, 0)) o quedarse cerca de él, en lo que en matemáticas se denomina una vecindad y no es más que un círculo centrado en el origen y con un radio de cierta magnitud. Si la sucesión de valores z₀, z₁, ... tiende a alejarse cada vez más del origen, esto es, la distancia entre z_i .y el origen crece indefinidamente cuando i crece, diremos que la órbita de z₀ escapa. Si, por el contrario, la sucesión de valores permanece dentro de una vecindad del origen que no crece con cada iteración, diremos que la órbita permanece acotada.

Ahora podemos preguntarnos ¿para qué valores de c la órbita de un punto dado, digamos el origen mismo, permanece acotada? y si nos topamos con un valor de c para el que la órbita escape ¿qué tan rápido lo hace? Podemos resolver este problema visualmente haciendo uso de la computadora. Para ello se utiliza un algoritmo conocido como el algoritmo de tiempo de escape. Fijamos un valor de c y el valor inicial de z₀, luego procedemos a iterar la función  2 un cierto número de veces usando como valor inicial a z₀, digamos 100 veces, al llegar a este número de iteraciones la distancia entre z₁₀₀  y el origen posee un cierto valor que denotaremos con |z |, entonces procedemos a pintar el punto de la ventana gráfica asociado con c de un cierto color que depende del tamaño de |z |. Repetimos el mismo proceso para todos los valores de c que tienen un punto asociado en la ventana gráfica de nuestro programa. El resultado es el mostrado en el applet. Cada pixel es la representación de un número complejo c diferente y posee un color determinado por cuan lejos llegó z₁₀₀.

El conjunto de valores de c que generan órbitas acotadas es lo que se denomina el conjunto de Mandelbrot y, como podemos ver, la frontera entre los valores de c que hacen esto y los que no, es muy complicada. Además el conjunto de Mandelbrot, como esperaríamos de un fractal, es autosimilar, si hacemos una ampliación de una pequeña parte de él, con frecuencia nos topamos con copias a escala de él mismo. Prueba por ejemplo, poner los siguientes valores en el programa:

• Esquina inf-izq:... (-1.8, -0.026)
• Esquina sup-der: (-1.73, 0.026)